Question

探究并计算（大胆实践，你一定能探索成功！）
观察后面等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将前面三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×

4=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接写出下面式子的计算结果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=

2006

2007

．
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…

1

2006×2008

．

Answer 1

分析：（1）（2）通过观察特例可知：一个分数的分母为两个连续自然数的乘积，可以把这个分数拆成两个分数相减的形式，据此解答；
（3）通过观察发现，算式中的每一项中的分母是两个自然数的乘积，并且都相差2，提出

1

2

，于是可把每一项拆成两个分数相减的形式，然后通过加减相互抵消，求出结果．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2006

-

1

2007

，
=1-

1

2007

，
=

2006

2007

；

（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…

1

2006×2008

，
=(

1

2

-

1

4

)×

1

2

+(

1

4

-

1

6

)×

1

2

+(

1

6

-

1

8

)×

1

2

+…+(

1

2006

-

1

2008

)×

1

2

，
=(

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+

1

6

-

1

8

+…+

1

2006

-

1

2008

)×

1

2

，
=(

1

2

-

1

2008

)×

1

2

，
=

1003

2008

×

1

2

，
=

1003

4016

．

故答案为：

1

n

-

1

n+1

，

2006

2007

，

1003

4016

．

点评：此题考查了分数的拆项：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

1

ab

（a-b=n）=（

1

a

-

1

b

）×

1

n

．