Question

（1）求自然数中所有三位数的和．
（2）求自然数中所有两位数中的奇数之和．
（3）计算 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99．

Answer 1

分析：（1）自然数中最小的三位数是100，最大的是999，那么所有的三位数是一个公差为1的等差数列：100，101，…，998，999．数列的项数是999-100+1=900，根据高斯求和公式，它们的和是：（100+999）×900÷2=1099×450=494550．
（2）欲求自然数中所有两位数中的奇数之和，就要先知道，自然数中所有两位数中的奇数有哪些数，它们是：11，13，15…97，99．这是一个公差为2，项数为（99-11）÷2+1=45的等差数列，则求它们的和得：（11+99）×45÷2=2475．
（3）原式实际上是两个数列的和，即 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99．可化为：（0.1+0.3+0.5+0.7+0.9）+（0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99）．那么分别计算这两个数列的和，然后再把所得的和相加即可．

解答：解：（1）自然数中所有三位数是一个公差为1的等差数列：
100，101，…，998，999．
数列的项数是：999-100+1=900，
根据高斯求和公式，它们的和是：
（100+999）×900÷2
=1099×450
=494550．
（2）自然数中所有两位数中的奇数有：11，13，15…97，99．
这是一个公差为2的等差数列，项数为：（99-11）÷2+1=45
则求它们的和得：
（11+99）×45÷2=2475；
（3）0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99．
=（0.1+0.3+0.5+0.7+0.9）+（0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99）
=（0.1+0.9）×5÷2+（0.11+0.99）×[（0.99-0.11）÷0.02+1]÷2
=1×5÷2+1.1×45÷2
=2.5+24.75
=27.25．

点评：本题是一组等差数列求和的题，需要注意的是：前两项要根据题意确定是要求哪些数的和，然后根据高斯求和公式计算．第三题是一个两个等差数列的求和，要分别找出各自的公差及项数，分别求和然后把所得的和相加．