Question

小明有10元钱，他准备从明天开始，每天买一包饼干或一包薯片．饼干每包1元，薯片每包2元．问小明花完10元有多少种方法？

Answer 1

考点：筛选与枚举

专题：传统应用题专题

分析：本题可以看作“登楼梯问题”，即：楼梯共有10级（10元），每次只能跨上一级（饼干每包1元）或二级（薯片每包2元），要登上第10级，共有多少种不同走法，然后根据每次跨一级或两级进行分情况讨论．

解答： 解：把本题可以看作“登楼梯问题”来解答：
1．没有跨两级的情况：每次跨一级，1种跨法；
2．有一次跨两级：需要跨9次，9次中选取一次跨两级，即9选1，有9种情况；
3．有两次跨两级：需要8次，8次中选取2次跨两级，即8选2，8×7÷（2×1）=28（种），有28种跨法；
4．有三次两级：需要跨7次，7次中选取3次跨两级，即7选3，7×6×5÷（3×2×1）=35（种），有35种；
5．有四次跨两级：需要跨6次，6次中选取4次跨两级，即6选4，6×5×4×3÷（4×3×2×1）=15（种），有15种；
6．有五次跨两级：有1种跨法．
共计：1+9+28+35+15+1=89（种）；
答：小明花完10元有89种方法．

点评：本题先根据条件转化乘组合的问题，组合问题的公式：n个中选a个就有n×（n-1）×（n-2）×…共有a个的积，再除以a×（a-1）×…×1的积．
本题还可以利用“裴波那契数列”来解答：
当n=1元时，（1），有：a₁=1种；
当n=2元时，（1，1），（2），有：a₂=2种；
当n=3元时，（1，1，1），（1，2），（2，1），有a₃=1+2=3种；
当n=4元时，（1，1，1，1，），（1，2，1），（2，1，1），（1，1，2）（2，2，），有：2+3=5种；
…
由此可得规律：下一种的方法数等于前两种方法数的和，即：a_n+2=a_n+1+a_n，
所以，可得排列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89；
答：小明花完10元有89种方法．