Question

三个两位奇数，它们的最大公约数是l，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数．求所有满足要求的情况．

Answer 1

考点：公约数与公倍数问题

专题：整除性问题

分析：首先判断出满足要求的数的最小公倍数都是3、5、7、11的有限次方组合，即n=3^x?5^y?7^z11^w，然后根据三个数的最小公倍数共有18个约数，列举法可以得到x=2、y=2、z=1、w=0或x=2、y=2、z=0、w=1，又因为三个两位数都是奇数，如n=3×3×5×7×5，首先把它化成三个两两互质的形式：n=9×25×7，然后再把9、25、7分别乘以3、5、7中不是本身约数的数，如：9乘以5或7，而且3、5、7这两个数必须只能出现一次，求出第一组满足条件的三位数，同理，求出另一组满足条件的三位数即可．

解答： 解：根据题意，可得所有满足要求的数的最小公倍数都是3、5、7、11的有限次方组合，
即n=3^x?5^y?7^z?11^w，
因为9是3的倍数，所以没列举，
三个两位数的最小公倍数不包括大于或等于13的数的有限次方，可以用列举法证明：65、39、91都不满足条件；
因为三个数的最小公倍数共有18个约数，列举法可以得到x=2、y=2、z=1、w=0或x=2、y=2、z=0、w=1，
又因为三个两位数都是奇数，如n=3×3×5×7×5，
首先把它化成三个两两互质的形式：n=9×25×7，然后再把9、25、7分别乘以3、5、7中不是本身约数的数，
如：9乘以5或7，而且3、5、7这两个数必须只能出现一次，
可得第一组满足条件的三位数为：35、63、75；
同理，可得第二组满足条件的三位数为：55、75、99．
答：所有满足要求的情况为：35，63，75；55，75，99．

点评：此题主要考查了公约数和公倍数问题的应用，解答此题的关键是判断出满足要求的数的最小公倍数都是3、5、7、11的有限次方组合．