Question

如图，在△ABC中，AB=11cm，AC=9cm．首先，在BC边上，取点H使么∠BHA=90°；然后在BC边上，在H与C之间取点D，使么BAD=60°；这样，∠DAC是∠HAD的2倍．请问，这时BH的长度是CH长度的几倍？

Answer 1

分析：延长CA到E，使得AE=AB，连接BE，作AF⊥BE与F，易知∠BEA=∠EBA=∠ABH=30°+α，则直角三角形AFB和直径三角形AFE和直角三角形AHB全等，设三角形ABC的面积为1，则三角形ABE的面积为

11

9

，所以三角形AFB的面积等于三角形ABE的面积的一半，等于

11

18

，也就是三角形ABH的面积等于

11

18

，所以三角形ACH的面积等于1-

11

18

=

7

18

，所以三角形ABH的面积与三角形ACH的面积比是：

11

18

：

7

18

=

11

7

，由此得出这时BH的长度是CH长度的几倍．

解答：解：延长CA到E，使得AE=AB，连接BE，作AF⊥BE与F，
因为∠BHA=90°，∠BAD=60°，
∠DAC是∠HAD的2倍，
所以∠BEA=∠EBA=∠ABH=30°+α，
则直角三角形AFB和直径三角形AFE和直角三角形AHB全等，
设三角形ABC的面积为1，则三角形ABE的面积为

11

9

，
所以三角形AFB的面积等于三角形ABE的面积的一半，等于

11

18

，
也就是三角形ABH的面积等于

11

18

，
所以三角形ACH的面积等于1-

11

18

=

7

18

，
所以三角形ABH的面积与三角形ACH的面积比是：

11

18

：

7

18

=

11

7

，
所以BH的长度是CH长度的

11

7

倍；
答：BH的长度是CH长度的

11

7

倍．

点评：关键是作出辅助线，利用三角形的高一定时，三角形底的比等于面积的比．