题目内容
（2008?淮安模拟）探索题．下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形．
1．仔细观察，你能发现图中铺瓷砖的规律吗？请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数．
（n+1）2块
（n+1）2块
．2．按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1+2+3+…+n），请算出第20个图形中黑瓷砖的块数是多少？
3．第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？
分析：（1）根据观察，图中三角形瓷砖的个数分别是4、9、16…，4=22；9=32；16=42；…由此即可得出第n个图形铺瓷砖的正总块数为（n+1）2块；
（2）第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1+2+3+…+n），当n=20时，计算得出：1+2+3+…+20的和即可解决问题；
（3）根据上述推理结果可得：第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为：（n+1）2-（1+2+3+…+n）=（n+1）（n+2）÷2，由此即可求得第55个图形中共有的白瓷砖的块数．
（2）第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1+2+3+…+n），当n=20时，计算得出：1+2+3+…+20的和即可解决问题；
（3）根据上述推理结果可得：第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为：（n+1）2-（1+2+3+…+n）=（n+1）（n+2）÷2，由此即可求得第55个图形中共有的白瓷砖的块数．
解答：解：（1）根据题干得出图中三角形瓷砖的个数分别是4=22；9=32；16=42；…则第n个图形铺瓷砖的正总块数为（n+1）2块；
答：则第n个图形铺瓷砖的正总块数为（n+1）2块．
（2）第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1+2+3+…+n），
当n=20时，1+2+3+…+20=210（块），
答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块．
（3）由上述推理可得：第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为：（n+1）2-（1+2+3+…+n）=（n+1）×（n+2）÷2，当n=55时，
（n+1）×（n+2）÷2，
=（55+1）×（55+2）÷2，
=56×57÷2，
=1596（块），
答：第n个图形中白瓷砖的块数可以用式子：（n+1）（n+2）÷2表示，算出第55个图形中共有1596块白瓷砖．
故答案为：（1）（n+1）2块．
答：则第n个图形铺瓷砖的正总块数为（n+1）2块．
（2）第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1+2+3+…+n），
当n=20时，1+2+3+…+20=210（块），
答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块．
（3）由上述推理可得：第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为：（n+1）2-（1+2+3+…+n）=（n+1）×（n+2）÷2，当n=55时，
（n+1）×（n+2）÷2，
=（55+1）×（55+2）÷2，
=56×57÷2，
=1596（块），
答：第n个图形中白瓷砖的块数可以用式子：（n+1）（n+2）÷2表示，算出第55个图形中共有1596块白瓷砖．
故答案为：（1）（n+1）2块．
点评：由题干中的图形的排列以及个数特点，得出瓷砖的排列规律是解决此类问题的关键．
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