Question

给你一个六位数

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87x3xy

：
（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；
（2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；
（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；
（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；
（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除．

Answer 1

考点：整除性质,位值原则

专题：整除性问题

分析：（1）由已知要求需（8+7+3+2x+y）能被9整除，即2x+y能被9整除，且0≤x，y＜10，由此列举即可；
（2）验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件；
（3）欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且2x+y能被3整除，即要求2x+y能被6整除，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3xy被8整除，这样可以得到（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）几个组合；
（4）为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11．因此即2x-y-2能被11整除，这样组合仅有（9，5）一组；
（5）为使能整除91，则要求87x-3xy能被91整除，则87x=x+51，3xy=10x+y+27，即要求x+51=10x+y+27，由此得出（x，y）=（2，6）．

解答： 解：（1）由已知要求需（8+7+3+2x+y）能被9整除，即2x+y能被9整除，且0≤x，y＜10，因此（x，y）只能是如下组合（0，9）、（1，7）、（2，5）、（3，3）、（4，1）、（5，8）、（6，6）、（7，4）、（8，2）、（9，9）；
（2）验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件；
（3）欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且2x+y能被3整除，即要求2x+y能被6整除，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3xy被8整除，这样可以得到只有（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）；
（4）为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11．因此即2x-y-2能被11整除，这样组合仅有（9，5）一组；
（5）为使能整除91，则要求87x-3xy能被91整除，则87x=x+51，3xy=10x+y+27，即要求x+51=10x+y+27，由此得出（x，y）=（2，6）．

点评：此题考查了整除的性质，明确能被9整除及能被11整除的特征，是解答此题的关键．