Question

一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数．如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？

Answer 1

考点：质数与合数问题

专题：整除性问题

分析：设这个四个位数的前两位数和后两位数分别为a，b（b为质数），根据题意，可得：100a+b=mb+a，整理，可得99a=（m-1）b，即3×3×11a=（m-1）b…①；因为b是质数，所以m-1是9的倍数，设m-1=9n…②，因为余数小于除数，所以a＜b，因此m-1＜99，判断出m、n的取值，由①②，可得b=

a

n

×11，因此b的因数有

a

n

和11，求出a的值，进而求出b的值和原来的四位数是多少即可．

解答： 解：设这个四个位数的前两位数和后两位数分别为a，b（b为质数），
根据题意，可得：100a+b=mb+a，
整理，可得99a=（m-1）b，
即3×3×11a=（m-1）b…①；
因为b是质数，所以m-1是9的倍数，
设m-1=9n…②，
因为余数小于除数，所以a＜b，
因此m-1＜99，
则m-1=9、18、27、36、45、54、63、72、81、90，
可得n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，
由①②，可得b=

a

n

×11，
因此b的因数有

a

n

和11，
则

a

n

=1，a是两位数，
所以a=n=10，此时b=11，1011÷11=91…10，
即原来的四位数是1011．
答：原来的四位数是1011．

点评：此题主要考查了质数的特征的应用，解答此题的关键是判断出这个四位数前两位数字和后两位数字的关系．