Question

一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和，问：这组数之和最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由．

Answer 1

分析：首先25是组中两个数a、b的和，不妨设a＞b，而除去1外，组中最小的数必定是2（否则这最小的数不是两个数的和，也不是1的两倍）．第三个小的数是3或4，在前一种情况，第四个小的数可能是4、5、6；在后一种情况，第四个小的数可能是5、6、8；如果b＞8，那么除去1，2，3，4…b…a…25及1，2，3，5…b…a…25；另外，其它情况各数的和均大于61，而由于b＞8，前一种情况，至少要增加一个大于4的数，各数的和仍大于61，后一种情况，各数的和同样会大于61，除非b=10，相应地a=15，即上面所列举的数为61的情况；如果b≤8，那么a≥17，为了将a表示成两个数的和或一个数的两倍，至少要有一个≥9的数，这样各数的和≥1+2+3+b+9+a+25=65＞61，因此只有数组1，2，3，5，10，15，25使和取得最小值61．
下面讨论和的最大值，如上所述，除去1外，组中最小的数必定是2，第三个小的数是3或4，在前一种情况，第四个小的数可能是4、5、6；在后一种情况，第四个小的数可能是5、6、8．要使和最大，次大的数可取24，从而数组1，2，4，8，16，24，25的和是80，应为和的最大值．

解答：解：（1）首先25是组中两个数a、b的和，不妨设a＞b，而除去1外，组中最小的数必定是2（否则这最小的数不是两个数的和，也不是1的两倍）．第三个小的数是3或4，在前一种情况，第四个小的数可能是4、5、6；在后一种情况，第四个小的数可能是5、6、8；如果b＞8，那么除去1，2，3，4…b…a…25及1，2，3，5…b…a…25；另外，其它情况各数的和均大于61，而由于b＞8，前一种情况，至少要增加一个大于4的数，各数的和仍大于61，后一种情况，各数的和同样会大于61，除非b=10，相应地a=15，即上面所列举的数为61的情况；如果b≤8，那么a≥17，为了将a表示成两个数的和或一个数的两倍，至少要有一个≥9的数，这样各数的和≥1+2+3+b+9+a+25=65＞61，因此只有数组1，2，3，5，10，15，25使和取得最小值61．
（2）如上所述，除去1外，组中最小的数必定是2，第三个小的数是3或4，在前一种情况，第四个小的数可能是4、5、6；在后一种情况，第四个小的数可能是5、6、8．要使和最大，次大的数可取24，从而数组1，2，4，8，16，24，25的和是80，应为和的最大值．
答：这组数之和最大值是80，当这组数之和有最小值时，这组数有1，2，3，5，10，15，25．

点评：根据题意先确定最小的数为2，再分情况讨论，注意不要遗漏．