Question

设N=301×302×…×2005×2006，请问：
（1）N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？
（2）用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？

Answer 1

考点：数字问题

专题：整除性问题

分析：（1）一个因数2与一个因数相乘，会在乘积的末尾增加一个0，连续的自然数相乘，因数2足够多，只需看因数5的个数即可求解；
（2）第二问就要看因数2与因数3的个数，分别求出有多少个因数3和多少个因数2，找出较少的即可求解．

解答： 解：（1）N中因数2足够多，因此末尾0的个数取决于N中因数5的个数．
2006-301+1=1706
因数5的个数：
2006÷5+2006÷25+2006÷125+2006÷625-（300÷5+300÷25+300÷125）
=401+80+16+3-60-12-2
=426（个）
所以，N末尾有426个连续0．

（2）N中因数3比因数4多，因此最多可以除去多少次12，取决于N中因数4的个数．
N中因数2的个数：
2006÷2+2006÷4+2006÷8+2006÷16+…+2006÷1024-300÷2+300÷4+300÷8+…+300÷256）
=1003+501+250+125+62+31+15+7+3+1-150-75-37-18-9-4-2-1
=1702
则N中因数4的个数为：1702÷2=851（个）．
所以，用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以851次12．

点评：（1）因数2足够多，只需看因数5的个数即可求解．
（2）看因数2与因数3的个数，分别求出有多少个因数3和多少个因数2．