Question

有甲、乙两堆小球．甲堆小球比乙堆多，而且甲堆球数比560多，但不超过640，从甲堆拿出与乙堆同样多的球放入乙堆中；第二次，从乙堆拿出与甲堆剩下的同样多的球放到甲堆中；…．如此继续下去，挪动五次以后，发现甲、乙两堆的小球一样多，那么，甲堆原有小球多少个？

Answer 1

分析：本题从最后的结果出发，一步一步向前推．设甲、乙两堆各有小球x个，注意到两堆共有2x个小球，按两堆小球的变化顺序逆推，列表如下：

解答：解：解：设第五次挪动后，甲、乙两堆各有小球x个，注意到两堆共有2x个小球，按两堆小球的变化顺序逆推：
第五次挪动前，乙堆有小球

1

2

x个，甲堆有小球2x-

1

2

x=

3

2

x个；
第四次挪动前，甲堆有小球

1

2

×

3

2

x=

3

4

x个，乙堆有小球2x-

3

4

x=

5

4

x个；
第三次挪动前，乙堆有小球

1

2

×

5

4

x=

5

8

x个，甲堆有小球2x-

5

8

x=

11

8

x个；
第二次挪动前，甲堆有小球

1

2

×

11

8

x=

11

16

x个，乙堆有小球2x-

11

16

x=

21

16

x个；
第一次挪动前即原来，乙堆有小球

1

2

×

21

16

x=

21

32

x个，甲堆有小球2x-

21

32

x=

43

32

x个．
设甲堆原有小球y个，那么y=

43

32

x，即32y=43x，
又因为32与43互质，所以y是43的倍数．
令y=43t（t为整数）
560＜y≤640即560＜43t≤640，
所以：13

1

43

=

560

43

＜t≤

640

43

=14

38

43

因此t=14，y=43t=602．
答：甲堆原有小球602个．

点评：本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解．