Question

一副双色牌中，红、黑两种颜色各有12张牌，每种颜色的牌上分别写着l，2，4，8，16，…，2048这12个数．小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和．
（1）若算出的和为2008，则小梁最多可能抽取了多少张牌？
（2）若算出的和为183，则小梁共有多少种抽取牌的方法？
（3）如果小梁有3种抽牌的方法使得和为某个正整数n，求n的值．

Answer 1

考点：数字和问题

专题：计算问题（巧算速算）

分析：（1）和为2008最多抽取的牌数，那么抽取的数越小就越多张牌，总共24张牌，最多可抽取17张，（1+2+4+8+16+32+64+128+256+512）×2=2046，2046-2008=38，32+2+4=38
（2）这道题是一个组合问题．每种颜色的牌中，l、2、4、8、16…2048 都只有1张牌．根据二进制，不大于 183 的每一个自然数a都可以由某一种颜色的牌组合出来（不抽的话，是0），且组合方式唯一．某种颜色的牌抽取出来之后（和为 a），另一种颜色的牌的抽取方式和为（183-a）也就唯一确定了．所以，抽取的某种颜色的牌的和的取值方式，与抽取的方法数是一一对应的．0-183 共有 184个数值，所以共有184种抽取牌的方法．
（3）很显然有3种抽牌使的和为2是有3种牌方法，抽1，1，红2，黑2，则与这相对应的就是抽出牌以后剩下的和为2的数．据此解答．

解答： 解：（1）（1+2+4+8+16+32+64+128+256+512）×2=2046，共20张牌，
2046-2008=38，32+2+4=38，三张牌的和是38，则可抽取的张数是
20-3=17（张）
答：小梁最多能抽取17张牌．

（2）每种颜色的牌中，l、2、4、8、16…2048 都只有1张牌．根据二进制，不大于 183 的每一个自然数a都可以由某一种颜色的牌组合出来（不抽的话，是0），且组合方式唯一．某种颜色的牌抽取出来之后（和为 a），另一种颜色的牌的抽取方式和为（183-a）也就唯一确定了．所以，抽取的某种颜色的牌的和的取值方式，与抽取的方法数是一一对应的．0-183 共有 184个数值，所以共有184种抽取牌的方法．
答：小梁共有184种抽牌的方法．

（3）3种抽牌使的和为2是有3种牌方法，抽红1黑1；红2；黑2，则与这相对应的就是抽出牌以后剩下的和为2的数．
（1+2+4+8+16+32+64+428+256+512+1024+2048）×2-2
=4095×2-2
=8190-2
=8188
答：n是2或是8188．

点评：第一小题的关键是找出最接近2008的几个最小数的和是多少，再去掉比2008多的牌数来进行解答，第二小题可根据二进制来进行解答，第三小题的关键是先求出抽三次和是正整数的数是2．