Question

一个自然数的3次方恰好有100个约数，那么这个自然数本身最少有

16

个约数．

Answer 1

分析：设这个自然数为a，则a分解质因数为：a=a1b1×a2b2×a3b3×…×anbn；则a³=a13b1×a23b2×a33b3×…×an3bn；（n为项数），根据约数和定理和100分解质因数的情况展开讨论分析即可解决问题．

解答：解：设这个自然数是a，则a分解质因数为：a=a1b1×a2b2×a3b3×…×anbn；则a³=a13b1×a23b2×a33b3×…×an3bn；（n为项数）
a³的约数个数为100个，根据约数和定理可得：（3b₁+1）×（3b₂+1）+（3b₃+1）×…×（3b_n+1）=100，
而100=2×2×5×5，又因为b₁、b₂、b₃…都是整数，
所以符合题意的情况有：
（1）b₁=3，b₂=3，n=2时：a的约数个数为：（3+1）×（3+1）=16（个），
（2）b₁=33，n=1时：
a的约数个数为：33+1=34（个），
答：综上所述，这个自然数本身最少有16个约数．
故答案为：16．

点评：此题考查了约数和定理的灵活应用．这就要求学生要灵活掌握约数和定理即：对于一个合数a，分解质因数后可以写成：a=a1b1×a2b2×a3b3×…×anbn的形式，则a的约数个数之和为：（b₁+1）×（b₂+1）+（b₃+1）×…×（b_n+1）．