已知y=f（x）是顶点在原点的二次函数，且方程f（x）=3^-x有一个根x=2，则不等式f(x)＞(

1

3

)|x|的解集是（　　）

A．（-∞，-2）∪（2，+∞）

B．（-2，2）

C．（0，2）

D．∅

（2013•茂名二模）已知函数f（x）=-x³+x²+bx，g（x）=alnx，（a＞0）．
（1）当a=x时，求函数g（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点，求实数b的取值范围；
（3）当b=0时，令F（x）=

f(x)，x＜1 g(x)，x≥1

．P（x₁，F（x₁）），Q（x₂，F（x₂））为曲线y=F（x）上的两动点，O为坐标原点，能否使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．

（2012•茂名二模）已知函数f（x）=-x³+x²+bx，g（x）=alnx，（a＞0）．
（1）若f（x）存在极值点，求实数b的取值范围；
（2）当b=0时，令F（x）=

f(x)，x＜1 g(x)，x≥1

．P（x₁，F（x₁）），Q（x₂，F（x₂））为曲线y=F（x）上的两动点，O为坐标原点，请完成下面两个问题：
①能否使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．
②当1＜x₁＜x₂时，若存在x₀∈（x₁，x₂），使得曲线y=F（x）在x=x₀处的切线l∥PQ，
求证：x₀＜

x1+x2

2

．

（2013•肇庆二模）已知函数f(x)=

-x3+ax2+bx，(x＜1) c(ex-1-1)，(x≥1)

在x=0，x=

2

3

处存在极值．
（1）求实数a，b的值；
（2）函数y=f（x）的图象上存在两点A，B使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围；
（3）当c=e时，讨论关于x的方程f（x）=kx（k∈R）的实根的个数．