函数y=

x2+1

x

(x＞0)的值域是（　　）

函数y=

x2+1

x

(x＞0)的值域是（　　）

A．[2，+∞）

B．（-∞，-2]

C．（-∞，-2]∪[2，+∞）

D．[-2，2]

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f(x)=

a+1

a

-

1

x

(a＞0)有“和谐区间”，则函数g(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+(a-1)x+5的极值点x₁，x₂满足（　　）

定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x₁、x₂，且x₁≠x₂，都有

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）对于函数f(x)=x+

1

x

，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数f(x)=

1

x

-ax2在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．

下列说法：
①函数y=

x-1

x+1

图象的对称中心是（1，1）；
②“x＞2是x²-3x+2＞0”的充分不必要条件；
③对任意两实数m，n，定义定点“*”如下：m*n=

m  若m≤n n  若m＞n

，则函数f（x）=log

1

2

(3x-2)*log2x的值域为（-∞，0]；
④若函数f（x）=

(3a-1)x+4a(x＜1) logax      (x≥1)

对任意的x₁≠x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，则实数a的取值范围是（-

1

7

，1]，
其中正确命题的序号为．

下列命题：①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），则y=f（x）在D上是增函数；②y=-

1

x

在定义域内是增函数；③函数f(x)=

1-x2

|x+1|-1

图象关于原点对称；④如果关于实数x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，正数解仅有一个，那么实数a的取值范围是a≤0；  其中正确的序号是．

下列命题：①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），则y=f（x）在D上是增函数；②y=-

1

x

在定义域内是增函数；③函数f(x)=

1-x2

|x+1|-1

图象关于原点对称；④如果关于实数x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，正数解仅有一个，那么实数a的取值范围是a≤0；  其中正确的序号是______．

已知函数y=x+

a

x

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+

2b

x

（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x²+

c

x2

（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数y=x+

a

x

和y=x²+

a

x2

（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=(x2+

1

x

)n+(

1

x2

+x)n（n是正整数）在区间[

1

2

，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

已知函数y=x+

a

x

（x＞0）有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+

b2

x

（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x²+

c

x2

（x＞0，常数c＞0）在定义域内的单调性，并用定义证明（若有多个单调区间，请选择一个证明）；
（3）对函数y=x+

a

x

和y=x²+

a

x2

（x＞0，常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=(x2+

1

x

)2+(

1

x2

+x)2在区间[

1

2

，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．