题目内容
已知函数y=x+
（x＞0）有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
]上是减函数，在[
，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+
（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x2+
（x＞0，常数c＞0）在定义域内的单调性，并用定义证明（若有多个单调区间，请选择一个证明）；
（3）对函数y=x+
和y=x2+
（x＞0，常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=(x2+
)2+(
+x)2在区间[
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
| a |
| x |
| a |
| a |
（1）如果函数y=x+
| b2 |
| x |
（2）研究函数y=x2+
| c |
| x2 |
（3）对函数y=x+
| a |
| x |
| a |
| x2 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| 2 |
分析：（1）根据题意可知：函数y=x+
（x＞0）在（0，
]上是减函数，在[
，+∞）上是增函数．从而当x=
时，函数取到最小值6，故可解；
（2）根据题意可知：函数y=x2+
（x＞0，常数c＞0）在（0，
]上是减函数，在[
，+∞）上是增函数，再用定义进行证明；
（3）根据题意，结合基本不等式可作推广．利用推广结论，可知函数在[
，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，从而可解．
| b2 |
| x |
| b2 |
| b2 |
| b2 |
（2）根据题意可知：函数y=x2+
| c |
| x2 |
| 4 | c |
| 4 | c |
（3）根据题意，结合基本不等式可作推广．利用推广结论，可知函数在[
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）函数y=x+
（x＞0）在（0，
]上是减函数，在[
，+∞）上是增函数．当x=
时，ymin=
+
=2
=6，
所以b=±3．（漏-3，扣1分）…（4分）
（2）函数y=x2+
（x＞0，常数c＞0）在（0，
]上是减函数，在[
，+∞）上是增函数．…（2分）
证明：函数y=x2+
（x＞0，常数c＞0）在（0，
]上是减函数
在（0，
]内任取两个变量x1，x2，且x1＜x2，
则y1-y2=
+
-
-
=
∵x1，x2∈（0，
]且x1＜x2，
∴y1＞y2
∴函数y=x2+
（x＞0，常数c＞0）在（0，
]上是减函数…（4分）
（3）作出推广：y=xn+
（x＞0，n∈N*，常数a＞0）…（1分）
在（0，
]上是减函数，在[
，+∞）上是增函数．…（2分）
或作出推广：y=x2n+
（x＞0，n∈N，常数a＞0）…（1分）
在（0，
]上是减函数，在[
，+∞）上是增函数．…（2分）
F（x）=(x2+
)2+(
+x)2
=(x4+
)+(x2+
)+2(x+
)
[
，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数．…（2分）
当x=1时，F（x）min=8；
当x=
或2时，F(x)max=
．…（3分）
| b2 |
| x |
| b2 |
| b2 |
| b2 |
| b2 |
| b2 | ||
|
| b2 |
所以b=±3．（漏-3，扣1分）…（4分）
（2）函数y=x2+
| c |
| x2 |
| 4 | c |
| 4 | c |
证明：函数y=x2+
| c |
| x2 |
| 4 | c |
在（0，
| 4 | c |
则y1-y2=
| x | 2 1 |
| c | ||
|
| x | 2 2 |
| c | ||
|
(
| ||||||||
|
∵x1，x2∈（0，
| 4 | c |
∴y1＞y2
∴函数y=x2+
| c |
| x2 |
| 4 | c |
（3）作出推广：y=xn+
| a |
| xn |
在（0，
| 2n | a |
| 2n | a |
或作出推广：y=x2n+
| a |
| x2n |
在（0，
| (2•2n) | a |
| (2•2n) | a |
F（x）=(x2+
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
=(x4+
| 1 |
| x4 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
[
| 1 |
| 2 |
当x=1时，F（x）min=8；
当x=
| 1 |
| 2 |
| 405 |
| 16 |
点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查与基本不等式结合，研究函数的单调性，并做推广，从而研究函数的最值．
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