例3. 如图3所示，细绳绕过两个定滑轮A和B，在两端各挂一个重为P的物体，现在A、B的中点C处挂一个重为Q的小球，Q<2P，求小球可能下降的最大距离h。已知AB的长为2L，不计滑轮和绳之间的摩擦力及绳的质量。

图3

解析：选小球Q和两重物P构成的整体为研究对象，该整体的速率从零开始逐渐增为最大，紧接着从最大又逐渐减小为零(此时小球下降的距离最大为h)，如图4在整个过程中，只有重力做功机械能守恒。

图4

因重为Q的小球可能下降的最大距离为h，所以重为P的两物体分别上升的最大距离均为。

考虑到整体初、末位置的速率均为零，故根据机械能守恒定律知，重为Q的小球重力势能的减少量等于重为P的两个物体重力势能的增加量，即。

从而解得

[模型要点]

“滑轮”模型的特点为滑轮两侧的受力大小相等，在处理功能问题时若力发生变化，通常优先考虑能量守恒规律，也可采用转化法求解。

[误区点拨]

注意“死杆”和“活杆”问题。

如：(2006年无锡统考)如图(a)轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M₁的物体。∠ACB=30°；图(b)中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M₂的物体，求细绳AC段的张力F_TAC与细绳EG的张力F_TEG之比？

图5

解析：图(a)中绳AC段的拉力F_TAC＝M₁g

图(b)中由于F_TEGsin30°=M₂g，解得：

[模型演练]

1. 在图6所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，摩擦不计，悬点a与b之间的距离远大于两轮的直径，两个物体的质量分别为m₁和m₂，若装置处于静止状态，则下列说法错误的是(　　 )

A. 可以大于

B. 必定大于

C. 必定等于

D. 与必定相等

答案：C

图6

例2. 如图2所示在车厢中有一条光滑的带子(质量不计)，带子中放上一个圆柱体，车子静止时带子两边的夹角∠ACB=90°，若车厢以加速度a=7.5m/s²向左作匀加速运动，则带子的两边与车厢顶面夹角分别为多少？

图2

解析：设车静止时AC长为，当小车以向左作匀加速运动时，由于AC、BC之间的类似于“滑轮”，故受到的拉力相等，设为F_T，圆柱体所受到的合力为ma，在向左作匀加速，运动中AC长为，BC长为

由几何关系得

由牛顿运动定律建立方程：

代入数据求得

说明：本题受力分析并不难，但是用数学工具解决物理问题的能力要求较高。

例1. (2005年烟台市检测题)如图1所示，将一根不可伸长、柔软的轻绳左、右两端分别系于A、B两点上，一物体用动滑轮悬挂在轻绳上，达到平衡时，两段绳子间的夹角为，绳子张力为；将绳子右端移到C点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为，绳子张力为；将绳子右端再由C点移到D点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为，绳子张力为，不计摩擦，并且BC为竖直线，则(　　 )

A. 　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　 D.

图1

解析：由于跨过滑轮上绳上各点的张力相同，而它们的合力与重力为一对平衡力，所以从B点移到C点的过程中，通过滑轮的移动，，再从C点移到D点，肯定大于，由于竖直方向上必须有，所以。故只有A选项正确。

(五)物质的量(n)、气体的体积(V)和气体摩尔体积(V_m)在一定状况下三者关系式：n＝V/V_m。

[思考感悟]

1、描述气体体积时，为什么要限定条件？

气体体积除与气体分子数的多少有关外，还与外界温度、压强有关，只有在限定条件下，才能对其体积和物质的量进行计算。

2、1mol气体只有在标准状况时才是22.4L吗？

不一定。因为气体体积受温度和压强的影响。在标准状况时，1mol任何气体的体积都约为22.4L，在升高温度，增大压强或减小压强，降低温度时，1mol气体的体积也可能是22.4L。

[基础训练]

1、下列说法正确的是(　 D　 )

①标准状况下，22.4L己烯含有的分子数约为6.02×10²³；

②标准状况下，a L的氧气和氮气的混合物含有的分子数约为a×6.02×10²³/22.4；

③7.1g氯气与足量的氢氧化钠溶液反应转移的电子数约为0.2×6.02×10²³；

④10g重水中含有的中子数约为4×6.02×10²³；

⑤1mol乙醇中含有的共价键数约为7×6.02×10²³；

⑥500mL1mol·L^－1的硫酸铝溶液中含有的硫酸根离子数约为1.5×6.02×10²³。

A、①④　　　　　　　　　　　 B、②⑤　　　　　　　　　　　　 C、③⑤　　　　　　　　　　　 D、②⑥

2、在25℃、100kPa条件下，将15LO₂通入10LCO和H₂的混合气体中，使其完全燃烧，干燥后，恢复至原来的温度和压强。

(1)若剩余气体的体积是15L，则原CO和H₂的混合气体中：V(CO)＝5L，V(H₂)＝5L。

(2)若剩余气体的体积为a L，则原CO和H₂的混合气体中V(CO)︰V(H₂)＝(a－10)/(20－a)，a的取值范围是10＜a＜20。

(2H₂+O₂＝2H₂O(l)，2CO+O₂＝2CO₂(g)。10L混合气体完全燃烧只需要5LO₂，故15LO₂过量。反应后O₂剩余10L。(1)若剩余气体15L，其中有10LO₂和5LCO₂，故V(CO)＝5L，V(H₂)＝(10－5)L＝5L；(2)若剩余气体为aL，其中有10LO₂和(a－10)LCO₂，则V(CO)＝(a－10)L，V(H₂)＝10L－(a－10)L＝(20－a)L，V(CO)/V(H₂)＝(a－10)/(20－a)。a的取值范围可采用极限假设法求得：若10L气体全部为H₂，则反应后剩余10LO₂；若10L气体全部为CO，则反应后得到10LCO₂和剩余的10LO₂。因此a的取值范围为10＜a＜20)

3、a g铜与一定量的浓HNO₃完全反应，生成标准状况下NO₂、NO共11.2L，则：

(1)反应中消耗的硝酸为a/32+0.5mol(用a的代数式表示，下同)。

(2)若在11.2LNO₂、NO混合气中，至少通入标准状况0.175a LO₂使氮的氧化物完全溶解于水。

(本题主要考查原子、电子守恒的计算。(1)依据N原子守恒，则被还原的HNO₃的物质的量为11.2L/22.4L·mol^－1＝0.5mol，酸性作用的硝酸的物质的量为2ag/64g·mol^－1＝a/32mol，则n(HNO₃)_消耗＝(a/32+0.5)mol。(2)由铜与浓HNO₃反应，生成的NO₂、NO又与O₂反应完全溶于水，转化为硝酸，此过程可看作铜失去的电子全部转给O₂，即由电子得失守恒得：2Cu-O₂，则标准状况下，V(O₂)＝ag/64g·mol^－1×1/2×22.4L·mol^－1＝0.175aL。)

[高考模拟]

4、(2008海南化学3)在两个密闭容器中，分别充有质量相同的甲、乙两种气体，若两容器的温度和压强均相同，且甲的密度大于乙的密度，则下列说法正确的是(　 B　 )

A、甲的分子数比乙的分子数多　　　　　　　　　　　 B、甲的物质的量比乙的物质的量少

C、甲的摩尔体积比乙的摩尔体积小　　　　　　　　 D、甲的相对分子质量比乙的相对分子质量小

(同温、同压下，同质量的甲比乙的密度大，说明甲的体积小于乙的体积，也就说明了甲的物质的量小于乙的物质的量，这是根据阿伏加德罗定律可得出)

5、(2008海南化学4)锌与很稀的硝酸反应生成硝酸锌、硝酸铵和水。当生成1mol硫酸锌时，被还原的硝酸的物质的量为(　 D　 )

A、2mol　　　　　　　　　　　 B、1mol　　　　　　　　　　　　 C、0.5mol　　　　　　　　　　 D、0.25mol

(根据电子守恒进行计算)

[作业]

(四)适用范围：只适用于气体，不适用于固体和液体。

(三)数值：在标准状况下(指温度为0℃(273K)，压强为1.01×10⁵Pa)约等于22.4L。

(二)单位：L·mol^－1或mL·mol^－1。

(一)定义：一定温度和压强下，单位物质的量的气体所占的体积。

(三)聚集状态体现物质的物理性质的不同。

(二)同一物质在不同的温度和压强下，聚集状态可能不同，不同的物质在同一温度及压强下，聚集状态也可能不同。