5．如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。

(1)试确定，使直线与平面所成角的正切值为；

(2)在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。

解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m)，C(0,1,0),D(0,0,0),B₁(1,1,1),D₁(0,0,1)．

所以

又由的一个法向量．

设与所成的角为，

则

依题意有：，解得．

故当时，直线。

(2)若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，

则。

依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。

等价于

即为的中点时，满足题设的要求．

4．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．

(1)证明AD⊥D₁F；

(2)求AE与D₁F所成的角；

(3)证明面AED⊥面A₁D₁F．

解：取D为原点，DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A(2，0，0)、A₁(2，0，2)、

D₁(0，0，2)、E(2，2，1)、F(0，1，0)．

(1)∵· =(2，0，0)·(0，1,－2)=0，∴AD⊥D₁F．

(2)∵·=(0，2，1)·(0，1，－2)=0，∴AE⊥D₁F，即AE与D₁F成90°角．

(3)∵·=(2，2，1)·(0，1，－2)=0，∴DE⊥D₁F．∵AE⊥D₁F，

∴D₁F⊥面AED．∵D₁F面A₁D₁F，∴面AED⊥面A₁D₁F．

3．如图，直棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．

(1)求的长；　

(2)求cos〈，〉的值；

(3)求证：A₁B⊥C₁M．

(1)解：依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，

∴｜｜==．

(2)解：A₁(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B₁(0，1，2)，

∴=(1，－1，2)，=(0，1，2)，·=3，｜｜=，｜｜=．

∴cos〈，〉==．

(3)证明：C₁(0，0，2)，M(，，2)，=(－1，1，－2)，=(，，0)，∴·=0，∴A₁B⊥C₁M．

2．在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，各棱长都为a，D是BC中点,则向量和的夹角为_____,异面直线A₁D和AB₁的夹角为______。

解： cos <，> = -∴<,>=π－arccos

异面直线和的夹角为φ，则φ= arccos

1．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成的角为　　　　　 (　 D　 )

A．arccos　　　 　　 B．arccos

C．arccos 　　　 　　　　　　　 D．arccos

解：建立如图所示坐标系，把D点视作原点O，分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则α=arccos．

8．△ABC为边长等于a的正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2CD，F是BE的中点。

(1)求证：DF//平面ABC；

(2)求证：AF⊥BD。

证：(1)=(+)=(++++)

=(2+++)=(+++)

=(+)=。∴ DFCM，从而DF//平面ABC。

(2)=(+)，=－。

·=(+)·(－)=(－·+·)

=(－·+·)=(－|| ||cos60°+|| ||)

=(－a²+a²)=0。∴ AF⊥BD。

考查运用空间向量的基本知识判断空间的线线、线面位置关系．要求掌握用坐标法或基底法证明空间线面平行、垂直,掌握用空间向量解立体几何问题的一般程序:把已知条件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，将几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的向量运算，以算代证，以值定形．

7．若OA，OB，OC两两互相垂直，求证△ABC为锐角三角形。

证明：OA，OB，OC两两互相垂直。

因·=(－)·(－)=·=||²＞0，

∴ <·>为锐角，即∠BAC为锐角，

同理∠ABC，∠BCA均为锐角，∴△ABC为锐角三角形。

6．如图，已知矩形和矩形垂直，以为公共边，但它们不在同一平面上．点M、N分别在对角线BD、AE上，且｜BM｜＝｜BD｜，｜AN｜＝｜AE｜．证明：MN∥平面CDE．

解：如图，＝++．

由已知，＝，又因为＝+，

所以　 ＝+．

由已知，＝，又因为＝+，

所以　 ＝+．所以　 ＝++++，

又　 ＝－，＝－，所以　 ＝－，即有MN∥平面CDE．

5．已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)：

(1)求以向量、为一组邻边的平行四边形的面积S；

(2)若向量分别与向量、垂直，且||=，求向量a的坐标。

(1)=(-2，-1，3)，=(1，-3，2)，

则cos∠BAC==，∴∠BAC=，∴ S=||·||·sin=7

(2)设 =(x，y，z)，则⊥ 　-2x－y+3z= 0　　　　　　　　 ①

⊥ 　x－3y+2z= 0　　 ②　　 ||= 　x²+y²+z²=3　　　　　 ③

由式①、②、③解得，x=y=z=1 或 x=y=z=-1．

∴ =(1，1，1)或=(-1，-1，-1)

4．已知=(2，2，1)，=(4，5，3)，求平面ABC的单位法向量．

解：单位法向量n ₀=±=±(，－，)．