20.(16分)如图所示，有两条相交成60°角的直路XX′

和YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初

甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用每小

时4 km的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y的方向步行.

(1)起初，两人的距离是多少？

(2)用t表示t小时后两人的距离；

(3)什么时候两人的距离最短？

解　 (1)设甲、乙两人起初的位置是A、B，则由余弦定理：

|AB|²=|OA|²+|OB|²-2|OA|·|OB|·cos60°

=3²+1²-2×3×1×=7,∴|AB|=.

所以甲、乙两人起初的距离是km.

(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，

则|AP|=4t，|BQ|=4t，

当0≤t≤时，由余弦定理

|PQ|²=(3-4t)²+(1+4t)²-2(3-4t)(1+4t)·cos60°，

当t＞时，

|PQ|²=(4t-3)²+(1+4t)²-2(4t-3)(1+4t)cos120°.

注意到上面两式实际上是统一的，

所以|PQ|²=(16t²-24t+9)+(16t²+8t+1)+(16t²-8t-3)=48t²-24t+7，

即|PQ|=.

(3)∵|PQ|=，

∴当t=时，|PQ|的最小值是2.

即在第15分钟末，两人的距离最短.

19.(2008·湖南理，19)(16分)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+( 其中sin=,0°＜＜90°)且与点A相距10海里的位

置C.

(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);

(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

解　 (1)如图(1)所示，AB=40，

AC=10，∠BAC=，sin=.

由于0°＜＜90°,

由余弦定理得

BC=.

所以船的行驶速度为==15(海里/小时).

(2)方法一　 如图(2)所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)，BC与x轴的交点为D.

由题设有，

x₁=y₁=AB=40,

x₂=ACcos∠CAD

=10cos(45°-)=30,

y₂=ACsin∠CAD

=10sin(45°-)=20.

所以过点B、C的直线l的斜率

k==2,

直线l的方程为y=2x-40.

又点E(0，-55)到直线l的距离

d==3＜7,

所以船会进入警戒水域.

方法二　 如图(3)所示，设直线AE

与BC的延长线相交于点Q.

在△ABC中，由余弦定理得

cos∠ABC=

=

=.

从而sin∠ABC=

==.

在△ABQ中,由正弦定理得

AQ==40.

由于AE=55＞40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.

过点E作EP⊥BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.

在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC

=QE·sin(45°-∠ABC)=15×=3＜7.

所以船会进入警戒水域.

18.(2008·重庆理，17)(16分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°,c=3b.求:

(1)的值;

(2)的值.

解　 (1)由余弦定理得

a²=b²+c²-2bccosA

=+c²-2·c·c·=c²，

故=.

(2)方法一　 =

==,

由正弦定理和(1)的结论得

=· =·==.

故=.

方法二　 由余弦定理及(1)的结论有

cosB===，

故sinB===.

同理可得

cosC===-，

sinC===.

从而=+

=-=.

17.(2009·海安高级中学测试题)(14分)在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m=(cosA,sinA),

n=(-sinA,cosA),若|m+n|=2.

(1)求角A的大小；

(2)若b=4,且c=a，求△ABC的面积.

解　 (1)m+n=(+cosA-sinA,cosA+sinA)

|m+n|²=(+cosA-sinA)²+(cosA+sinA)²

=2+2(cosA-sinA)+(cosA-sinA)²+(cosA+sinA)²

=2+2(cosA-sinA)+2

=4-4sin(A-)

∵|m+n|=2,∴4-4sin(A-)=4,sin(A-)=0.

又∵0＜A＜,∴-＜A-＜,∴A-=0,

∴A=.

(2)由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA,

又b=4,c=a,A=，

得a²=32+2a²-2×4×a·,

即a²-8a+32=0,解得a=4，∴c=8.

∴S_△ABC=b·csinA=×4×8×sin=16.

S_△ABC=×(4)²=16.

16.(2008·合肥模拟)(14分)已知向量a=(cosx,sinx),|b|=1,且a与b满足|ka+b|=|a-kb| (k＞0).

(1)试用k表示a·b，并求a·b的最小值；

(2)若0≤x≤,b=,求a·b的最大值及相应的x值.

解(1)∵|a|=1，|b|=1，

由|ka+b|=|a-kb|,

得(ka+b)²=3(a-kb)²,

整理得a·b==≥,

当且仅当k=1时，a·b取最小值.

(2)由a·b=cosx+sinx=sin(x+).

∵0≤x≤，∴≤x+≤，

∴-≤sin(x+)≤1.

当x=时，a·b取最大值为1.

15.(14分)设a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2),

(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；

(2)求c在a方向上的投影；

(3)求₁和₂，使c=₁a+₂b.

(1)证明　 ∵a=(-1,1),b=(4,3),-1×3≠1×4,

∴a与b不共线，设a与b的夹角为,

cos===-.

(2)解　 设a与c的夹角为,

cos===-，

∴c在a方向上的投影为

|c|cos=-.

(3)解　 ∵c=₁a+₂b,∴，

解得₁=-,₂=.