题型1：数字特征

例1．为了检查一批手榴弹的杀伤半径，抽取了其中20颗做试验，得到这20颗手榴弹的杀伤半径，并列表如下：

(1)在这个问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？

(2)求出这20颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数，并估计这批手榴弹的平均杀伤半径．

解析： (1)总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半径的全体；个体是每一颗手榴弹的杀伤半径；样本是所抽取的20颗手榴弹的杀伤半径；样本容量是20。

(2)在20个数据中，10出现了6次，次数最多，所以众数是10(米)。

20个数据从小到大排列，第10个和第11个数据是最中间的两个数，分别为9(米)和10(米)，所以中位数是(9+10)=9.5(米)。

样本平均数(米)

所以，估计这批手榴弹的平均杀伤半径约为9.4米。

点评：(1)根据总体、个体、样本、样本容量的概念答题．要注意：总体、个体和样本所说的考察对象是一种数量指标，不能说成考察的对象是手榴弹，而应说是手榴弹的杀伤半径。

(2)读懂表格的意义，利用概念求众数、中位数，用样本平均数估计这批手榴弹的平均杀伤半径．另外在这里要会简便计算有多个重复数据的样本的平均数。

例2．为估计一次性木质筷子的用量，1999年从某县共600家高、中、低档饭店抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：

0.6　　 3.7　　 2.2　　 1.5　　 2.8

3．线性回归

回归分析：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系。

回归直线方程：设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为y对x的回归函数的类型为直线型：。其中，。我们称这个方程为y对x的回归直线方程。

2．频率分布直方图、折线图与茎叶图

样本中所有数据(或数据组)的频率和样本容量的比，就是该数据的频率。所有数据(或数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布直方图、折线图、茎叶图来表示。

频率分布直方图：

具体做法如下：

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；

(2)决定组距与组数；

(3)将数据分组；

(4)列频率分布表；

(5)画频率分布直方图。

注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×=频率。

折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。

总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线。

1．用样本的数字特征估计总体的数字特征

(1)众数、中位数

在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；

将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列，处在中间位置上的一个数据(或中间两位数据的平均数)叫做这组数据的中位数；

(2)平均数与方差

如果这n个数据是，那么叫做这n个数据平均数；

如果这n个数据是，那么叫做这n个数据方差；同时 叫做这n个数据的标准差。

2．热点问题是频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征。

“统计”是在初中“统计初步”基础上的深化和扩展，本讲主要会用样本的频率分布估计总体的分布，并会用样本的特征来估计总体的分布。

预测2007年高考对本讲的考察是：

1．以基本题目(中、低档题)为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考察学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力；

2．变量的相关性

①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；

②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

1．用样本估计总体

①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会他们各自的特点；

②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差；

③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；

④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性；

⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异；

⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

常用的抽样方法及它们之间的联系和区别：

不放回抽样和放回抽样：在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样。

随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样。

题型1：统计概念及简单随机抽样

例1．为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是(　 )

A．1000名运动员是总体　　　　　　　　　　　　　　　　 B．每个运动员是个体

C．抽取的100名运动员是样本　　　　　　　　　　　 D．样本容量是100

解析：这个问题我们研究的是运动员的年龄情况，因此应选D。

答案：D

点评：该题属于易错题，一定要区分开总体与总体容量、样本与样本容量等概念。

例2．今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本。问：① 总体中的某一个体在第一次抽取时被抽到的概率是多少?② 个体不是在第1次未被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少?③ 在整个抽样过程中，个体被抽到的概率是多少?

解析：(1)，(2)，(3)。

点评：由问题(1)的解答，出示简单随机抽样的定义，问题( 2 )是本讲难点。基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性。

题型2：系统抽样

例3．为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本。

解析：(1)随机地将这1003个个体编号为1，2，3，…，1003．

(2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后再按系统抽样的方法进行．

点评：总体中的每个个体被剔除的概率相等，也就是每个个体不被剔除的概率相等.采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是，所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然相等，都是。

例4．(2004年福建，15)一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6，则在第7组中抽取的号码是___________.

剖析：此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样.按题目中要求的规则抽取即可.

∵m=6，k=7，m+k=13，∴在第7小组中抽取的号码是63.

答案：63

点评：当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样。采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行。

题型3：分层抽样

例5．(2006湖北文，19)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%。登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定

(Ⅰ)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

(Ⅱ)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。

解析：(Ⅰ)设登山组人数为，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有，解得b=50%,c=10%.

故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、

50%、10%。

(Ⅱ)游泳组中，抽取的青年人数为(人)；

抽取的中年人数为50%＝75(人)；

抽取的老年人数为10%＝15(人)。

点评：本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。

例6．(2006四川文，5)甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生(　 )

A．30人，30人，30人　　 B．30人，45人，15人

C．20人，30人，10人　　 D．30人，50人，10人

解析：B；

点评：根据样本容量和总体容量确定抽样比，最终得到每层中学生人数。

题型4：综合问题

例7．(1)(2004年湖南，5)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是

A．分层抽样法，系统抽样法　　　　　　　　　　　　　 B．分层抽样法，简单随机抽样法

C．系统抽样法，分层抽样法　　　　　　　　　　　　　 D．简单随机抽样法，分层抽样法

分析：此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.

依据题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法.故选B.

答案：B

(2)(2005湖北卷理第11题，文第12题)某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：

　　　 ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；

　　　 ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；

　　　 ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；

　　　 ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；

　　　 关于上述样本的下列结论中，正确的是　　 ( 　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 A．②、③都不能为系统抽样　　　　　　　　　 B．②、④都不能为分层抽样

C．①、④都可能为系统抽样　　 D．①、③都可能为分层抽样

解析：D。

点评：采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定。