50.(2009年上海卷理)已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。

(1)　　　 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；　　

(2)　　　 求所有满足“2和性质”的一次函数；

(3)　　　 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。

解 (1)函数的反函数是

而其反函数为　

故函数不满足“1和性质”

(2)设函数满足“2和性质”，

…….6分

而得反函数………….8分

由“2和性质”定义可知=对恒成立

即所求一次函数为………..10分　

(3)设，，且点在图像上，则在函数图象上，

　　　 故，可得，　　　　　 　．．．．．．12分

令，则。，即。　　．．．．．．14分

综上所述，，此时，其反函数就是，

而，故与互为反函数 。　　　　　　

2005-2008年高考题

7.(2009江苏卷)(本小题满分16分)

设为实数，函数.

(1)若，求的取值范围；

(2)求的最小值；

(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.

解　 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分

(1)若，则

(2)当时，

　 　当时，

　 　综上

(3)时，得，

当时，；

当时，△>0,得：

讨论得：当时，解集为;

当时，解集为;

当时，解集为.

49.(2009浙江理)(本题满分14分)已知函数，，

其中． 　　

　 (I)设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；

　 (II)设函数　 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一

的非零实数()，使得成立？若存在，求的值；若不存

在，请说明理由．

解 (I)因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 　　　

，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有， 于是，得，而当时有在 上有两个相等的实根，故舍去，所以； 　　

(II)当时有；

当时有，因为当时不合题意，因此，

下面讨论的情形，记A，B=(ⅰ)当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，(ⅱ)当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合(ⅰ)(ⅱ)；

当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意． 　　

48.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数

(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值

(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.

解　 (1)设，则；

　　 又的图像与直线平行　 　　　

　　 又在取极小值，　 　　，　　　

　　 ，　　　 ；

　　 ，　 设

　　 则

　　 　　　　　； 　　　　　　

　 　(2)由，

　　 得　　 　　　

　　 当时，方程有一解，函数有一零点；

　　 当时，方程有二解，若，，

　　 函数有两个零点；若，

　　 ，函数有两个零点；

　　 当时，方程有一解,　 , 函数有一零点 　　　　　　

47.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则　　　

答案　 -8

解析　 因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以

[命题立意]:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,

对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,

运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

46.(2009江苏卷)已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为　 　　.

解析　　 考查指数函数的单调性。　　

，函数在R上递减。由得：m<n

45.(2009北京理)若函数　 则不等式的解集为____________.

答案　　

解析　 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算

的考查.

　(1)由.

　(2)由.

　 ∴不等式的解集为，∴应填.

41.(2009重庆卷理)若是奇函数，则　　　　　　 ． 　　

答案　　

解析　　 解法1

42(2009上海卷文) 函数f(x)=x³+1的反函数f^-1(x)=_____________.

答案　　

解析　　 由y＝x³+1，得x＝，将y改成x，x改成y可得答案。

44(2009北京文)已知函数若，则　　　　　 .　　　　　　　　　　

.w.w.k.s.5　 答案　　

.w　 解析　 5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.

由，无解，故应填.

40.(2009重庆卷文)把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则 的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　 D．

答案　　 B

解析　 根据题意曲线C的解析式为则方程

，即，即对任意

　 恒成立，于是的最大值，令则

　　　　　 由此知函数在(0，2)上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是。