(1)内角和定理：三角形内角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：

①正弦定理的一些变式：；

；；

② 已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理：等，常用余弦定理鉴定三角形形状.

(4)面积公式：等等(其中为三角形内切圆半径).

(5)三角形中的射影公式：；； .

特别提醒：① 求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；

② 求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

3．三角恒等式的证明

证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上的同，这个过程，往往是从化简开始的--这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开始．

例5　 求证 cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα．

分析　 从复杂的左边开始证得右边．

=2cosα-3tgα=右边

例6　 证明恒等式

(1)1+3sin²αsec⁴α+tg⁶α=sec⁶α

(2)(sinA+ secA)³+(cosA+cscA)²=(1+secAcscA)²

分析　 (1)的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简

证明　 (1)右边-左边=sec⁶α-tg⁶α-3sin²αsec⁴α-1

=(sec²α-tg²α)(sec⁴α+sec²α·tg²α+tg²α)-3sin²αsec⁴α-1

=(sec⁴α-2sec²αtg²α+tg²α)-1

=(sec²α-tg²α)²-1=0

∴等式成立．

=sin²A+cos²A=1故原式成立

在解题时，要全面地理解“繁”与“简”的关系．实际上，将不同的角化为同角，以减少角的数目，将不同的函数名称，化为同名函数，以减少函数的种类，都是化繁为简，以上两点在三角变换中有着广泛的应用．

分析1　 从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类．

分析2　 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)²，进而可以约分，达到化简的目的．

说明　 (1)当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦(如解法1)，或将弦化为切(如解法2)以减少函数的种类．

(2)要熟悉公式的各种变形，以便迅速地找到解题的突破口，请看下列．

=secα+tgα

∴等式成立

说明　 以上证明中采用了“1的代换”的技巧，即将1用sec²α-tg²α代换，可是解题者怎么会想到这种代换的呢？很可能，解题者在采用这种代换时，已经预见到代换后，分子可以因式分解，可以约分，而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的，当然，对不熟练的解题者而言，还有如下的“一般证法”--即证明“左边-右边=0”

∴左边=右边

2．三角函数式的化简

三角函数式的化简的结果应满足下述要求：

(1)函数种类尽可能地少．

(2)次数尽可能地低．

(3)项数尽可能地少．

(4)尽可能地不含分母．

(5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来．

化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简．

例3　 化简sin²α·tgα+cos²α·ctgα+2sinαcosα

=secα·cscα

解2　 原式=(sin²α·tgα+sinα·cosα)+(cos²α·ctgα+sinαcosα)

=tgα·(sin²α+cos²α)+ctgα(sin²α+cos²α)

=tgα+ctgα

=secα·cscα

说明　 (1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的．

(2)解2中的逆用公式将sinα·cosα用tgα表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用．

例4　 化简：

分析　 将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简．

1．已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值．

解　 ∵sinα＜0

∴角α在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)

(2)若α在第四象限，则

说明　 在解决此类问题时，要注意：

(1)尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号．

(2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次)．

(3)必要时进行讨论．

例2　 已知sinα=m(|m|≤1)，求tgα的值．

(2)当m=±1时，α的终边在y轴上，tgα无意义．

(3)当α在Ⅰ、Ⅳ象限时，∵cosα＞0．

当α在第Ⅱ、Ⅲ象限时，∵cosα＜0，

说明　 (1)在对角的范围进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况．

(2)本题在进行讨论时，为什么以cosα的符号作为分类的标准，而不按sinα的符号(即m的符号)来分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？

22．如图，已知平面平行于三棱锥的底面，等边三角形所在平面与面垂直，且，设。

(1证明：为异面直线与的公垂线；

(2求点与平面的距离；

(3求二面角的大小。

高三第一轮复习训练题

21． 　 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，

∠ABC=∠BAD=90°，.

　 (1)求证：平面PAC⊥平面PCD；

　 (2)在棱PD上是否存在一点E，使CE//平面PAB？

　　 若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由

20．如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB＝2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F，

⑴求证：A₁C⊥平面BDE；

⑵求A₁B与平面BDE所成角的正弦值。

19. 如图6所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB = BC = 1，

BB₁ = 2，正是棱CC₁上的点，且

　 (1)求三棱锥C-BED的体积；

　 (2)求证：A₁C⊥平面BDE.

．

18．如图，已知DA⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，

在△ABE中，AE=1，BE=

　 (1)证明：平面ADE⊥平面BCE；

　 (2)求二面角B-AC-E的余弦值。

17．如图，在四棱锥中，平面，，，与平面所成角的大小是．

　 (1)求四棱锥的体积；

　　 (2)求异面直线与所成角的大小．