20.(2009福建卷文)(本小题满分14分)

已知直线经过椭圆 21世纪教育网　 　

的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭

圆上位于轴上方的动点，直线，与直线

分别交于两点。

　 (I)求椭圆的方程；

　 (Ⅱ)求线段MN的长度的最小值；

　 (Ⅲ)当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这

样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由

解法一：

(I)由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为

　　　 故椭圆的方程为

(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而

由得0

设则得，从而 21世纪教育网　 　

即又

由得

故

又 　　

当且仅当，即时等号成立21世纪教育网　 　

时，线段的长度取最小值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，当取最小值时，

　　 此时的方程为

　　 　要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。

设直线

则由解得或 　　

19.(2009宁夏海南卷文)(本小题满分12分)

已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个

焦点的距离分别是7和1

(I)　　　　　　　　　　 求椭圆的方程‘

(II)　　　　　　　　 若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，

(e为椭圆C的离心率)，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解：

(Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 　　　　　

{　 解得a=4,c=3, 21世纪教育网　 　

所以椭圆C的方程为 　　　　　　

(Ⅱ)设M(x,y),P(x,),其中由已知得

而，故　　　　　 　①

由点P在椭圆C上得　　　　 　　　　　　

代入①式并化简得

所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段. 　　　　　　

18.(2009辽宁卷文)(本小题满分12分)

已知，椭圆C以过点A(1，)，两个焦点为(－1，0)(1，0)。

(1)　　　 求椭圆C的方程；

(2)　　　 E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 　　　　　

(22)解：(Ⅰ)由题意，c＝1,可设椭圆方程为。 　　　　　

因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝(舍去)。

所以椭圆方程为　 ．　　 　　　　　　　　．．．．．．4分

(Ⅱ)设直线AE方程：得，代入得 　　　　　

设E(，)，F(，)．因为点A(1，)在椭圆上，所以

， 　　　　　

。　　　　　　　　　　　　．．．．．．．8分

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得

， 　　　　　

。

所以直线EF的斜率。

即直线EF的斜率为定值，其值为。　　　　　　　　　　　 　　 ．．．．．．．12分

17.(2009天津卷文)(本小题满分14分)

已知椭圆()的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且

(Ⅰ求椭圆的离心率

(Ⅱ)直线AB的斜率；

(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值。

[答案](1)(2)(3)

[解析] (1)解：由，得,从而

，整理得，故离心率

(2)解：由(1)知，，所以椭圆的方程可以写为

设直线AB的方程为即

由已知设则它们的坐标满足方程组 21世纪教育网　 　

消去y整理，得

依题意，

而，有题设知，点B为线段AE的中点，所以

联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得

(3)由(2)知，，当时，得A由已知得

线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为

直线的方程为，于是点满足方程组由，解得，故

当时，同理可得

[考点定位]本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想，考查运算能力和推理能力。

16.(2009江西卷文)(本小题满分14分)

如图，已知圆是椭圆的内接△的内切圆, 其中为椭圆的左顶点.　　　　　　

(1)求圆的半径;

(2)过点作圆的两条切线交椭圆于两点，

解: (1)设，过圆心作于,交长轴于

由得,

即　　 　　　　　　　(1)　　　　　　

而点在椭圆上,　　　 (2)

由(1)、 (2)式得,解得或(舍去)

(2) 设过点与圆相切的直线方程为:　　　　　　 (3)

则,即　　　　　　 (4)

解得

将(3)代入得,则异于零的解为

设,，则

则直线的斜率为：

于是直线的方程为:　

即

则圆心到直线的距离　　　　　　 21世纪教育网　 　

故结论成立.

15.(2009安徽卷文)(本小题满分12分)

已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的

圆与直线y=x+2相切，

(Ⅰ)求a与b；21世纪教育网　 　　　

(Ⅱ)设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交与点p..求线段P垂直平分线与的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。

[思路](1)由椭圆建立a、b等量关系，再根据直线与椭圆相切求出a、b.

(2)依据几何关系转化为代数方程可求得，这之中的消参就很重要了。

[解析](1)由于　 ∴　 ∴　 又　 ∴b²=2,a²=3因此，. 21世纪教育网　 　　　

(2)由(1)知F₁，F₂两点分别为(-1，0)，(1,0)，由题意可设P(1，t).(t≠0).那么线段PF₁中点为，设M(x、y)是所求轨迹上的任意点.由于则消去参数t得

,其轨迹为抛物线(除原点)

14. (2009山东卷文)(本小题满分14分)

设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; 21世纪教育网　 　

(2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

解:(1)因为,,,

所以,　　 即. 21世纪教育网　 　

当m=0时,方程表示两直线,方程为;

当时, 方程表示的是圆

当且时,方程表示的是椭圆;

当时,方程表示的是双曲线.

(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=,

即,即,　　 且

,

要使,　 需使,即,

所以,　 即且,　 即恒成立.

所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为,, 所求的圆为.

当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁, 由(2)知,　 即　　 ①,

因为与轨迹E只有一个公共点B₁,

由(2)知得,

即有唯一解

则△=,　　 即,　　 ②

由①②得,　 此时A,B重合为B₁(x₁,y₁)点, 21世纪教育网　 　

由 中,所以,,

B₁(x₁,y₁)点在椭圆上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因为当且仅当时取等号,所以,即

当时|A₁B₁|取得最大值,最大值为1.

[命题立意]:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.

13.(2009浙江文)(本题满分15分)已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．

　 (I)求与的值；

　 (II)设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．

解析(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义

点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得

抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得

(Ⅱ)由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。

则，当　 则。

联立方程，整理得：

即：，解得或

，而，直线斜率为 21世纪教育网　 　

，联立方程

整理得：，即：

　，解得：，或

，

而抛物线在点N处切线斜率：

MN是抛物线的切线，， 整理得

，解得(舍去)，或，

12.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.

(1)求椭圆G的方程

(2)求的面积

(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.

[解析](1)设椭圆G的方程为：　 ()半焦距为c;

　　　　 则 , 解得 ,

　　 所求椭圆G的方程为：. 21世纪教育网　 　　　　　

(2 )点的坐标为

(3)若，由可知点(6，0)在圆外，

　　 若，由可知点(-6，0)在圆外；

　　 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.

11.(2009宁夏海南卷文)已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 　　　　　　　　。

[答案]

[解析]设抛物线为y²＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x²－kx＝0，＝k＝2×2，故.