2、m<0,n>0时，的值是(　　 )

(A)　　　　　　 (B)0　　　　　　 (C)1　　　　　 (D)

1、是函数在点x_o处存在极限的(　)

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件　 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

2、函数的连续性

(1)函数连续性的概念:

①如果函数f(x)在x=x₀处及其附近有定义,而且,就说函数f(x)在x=x₀处连续。

注：函数f(x)在x=x₀处连续必须具备三个条件：Ⅰ)函数f(x)在x=x₀处及其附近有定义；Ⅱ)函数f(x)在x=x₀处有极限；Ⅲ)函数f(x)在x=x₀处的极限值等于这一点处的函数值f(x₀)。

②右连续(或左连续)：如果函数f(x)在x=x₀处及其右侧(或左侧)有定义，而且(或)。

③若函数f(x)在(a,b)内每一点都连续,且在a点右连续，b点左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续。

注：函数f(x)在(a,b)内连续，只要求在(a,b)内每一点都连续即可，对在端点处是否连续不要求。

(2)函数连续性的运算:

①若f(x)，g(x)都在点x₀处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，(g(x)≠0)也在点x₀处连续。

②若u(x)都在点x₀处连续，且f(u)在u₀=u(x₀)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x₀处连续。

(3)初等函数的连续性:

①基本初等函数(指数函数，对数函数，三角函数等)在定义域里每一点处都连续。

②基本初等函数及常数经过有限次四则运送所得到的函数，都是初等函数，初等函数在其定义域里每一点处的极限都等于该点的函数值。

(3)

图甲表示的是f(x)在点x₀处的左、右极限存在但不相等，即不存在

图乙表示的是f(x)在点x₀处的左极限存在、右极限不存在，也属于不存在

图丙表示的是存在，但函数f(x)在点x₀处没有定义

图丁表示的是存在，但它不等于函数f(x)在点x₀处的函数值。

注意：函数f(x)在x=x₀处连续与函数f(x)在x=x₀处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。”

1、函数的极限

1) 当x→∞时函数f(x)的极限:

1；2； 3

　　 当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→+∞时,f(x)→a)

当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→-∞时,f(x)→a)

注：自变量x→+∞和x→-∞都是单方向的，而x→∞是双向的，故有以下等价命题

令，分别求

2) 当x→x₀时函数f(x)的极限:

1； 2； 3

如果当x从点x=x₀左侧(即x＜x₀)无限趋近于x₀时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的左极限，记作。

如果当x从点x=x₀右侧(即x＞x₀)无限趋近于x₀时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的右极限，记作。

注：1与函数f(x)在点x₀处是否有定义及是否等于f(x₀)都无关。

2。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。

注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限；②时，，③时，的值不唯一。

4)函数极限的运算法则：

若，，那么；；

；；。

注：以上规则对于x→∞的情况仍然成立。

5)两个重要的极限：；和一个法则：罗必塔法则：

2、平板车向右运动时比较复杂，只要去每次向左运动的路程的两倍即可。而向左是匀减速的，故

第一次：S₁ =

第二次：S₂ = 　=

第三次：S₃ = 　=

……

n次碰墙的总路程是：

ΣS = 2( S₁ + S₂ + S₃ + … + S_n )= ( 1 + 　+ 　+ … + 　)

　 = ( 1 + 　+ 　+ … + 　)

碰墙次数n→∞，代入其它数字，得：ΣS = 4.05 m

(学生活动)质量为M 、程度为L的木板固定在光滑水平面上，另一个质量为m的滑块以水平初速v₀冲上木板，恰好能从木板的另一端滑下。现解除木板的固定(但无初速)，让相同的滑块再次冲上木板，要求它仍能从另一端滑下，其初速度应为多少？

解：由第一过程，得滑动摩擦力f = 　。

第二过程应综合动量和能量关系(“恰滑下”的临界是：滑块达木板的另一端，和木板具有共同速度，设为v )，设新的初速度为

m =( m + M )v

m - ( m + M )v² = fL

解以上三式即可。

答：= v₀ 。

物理情形：如图17所示，在光滑的水平面上，质量为M = 1 kg的平板车左端放有质量为m = 2 kg的铁块，铁块与车之间的摩擦因素μ= 0.5 。开始时，车和铁块以共同速度v = 6 m/s向右运动，车与右边的墙壁发生正碰，且碰撞是弹性的。车身足够长，使铁块不能和墙相碰。重力加速度g = 10 m/s² ，试求：1、铁块相对车运动的总路程；2、平板车第一次碰墙后所走的总路程。

模型分析：本模型介绍有两对相互作用时的处理常规。能量关系介绍摩擦生热定式的应用。由于过程比较复杂，动量分析还要辅助以动力学分析，综合程度较高。

由于车与墙壁的作用时短促而激烈的，而铁块和车的作用是舒缓而柔和的，当两对作用同时发生时，通常处理成“让短时作用完毕后，长时作用才开始”(这样可以使问题简化)。在此处，车与墙壁碰撞时，可以认为铁块与车的作用尚未发生，而是在车与墙作用完了之后，才开始与铁块作用。

规定向右为正向，将矢量运算化为代数运算。

车第一次碰墙后，车速变为－v ，然后与速度仍为v的铁块作用，动量守恒，作用完毕后，共同速度v₁ = 　= 　，因方向为正，必朝墙运动。

(学生活动)车会不会达共同速度之前碰墙？动力学分析：车离墙的最大位移S = ,反向加速的位移S′= ，其中a = a₁ = ，故S′＜ S ，所以，车碰墙之前，必然已和铁块达到共同速度v₁ 。

车第二次碰墙后，车速变为－v₁ ，然后与速度仍为v₁的铁块作用，动量守恒，作用完毕后，共同速度v₂ = 　= 　= ，因方向为正，必朝墙运动。

车第三次碰墙，……共同速度v₃ = 　= ，朝墙运动。

……

以此类推，我们可以概括铁块和车的运动情况--

铁块：匀减速向右→匀速向右→匀减速向右→匀速向右……

平板车：匀减速向左→匀加速向右→匀速向右→匀减速向左→匀加速向右→匀速向右……

显然，只要车和铁块还有共同速度，它们总是要碰墙，所以最后的稳定状态是：它们一起停在墙角(总的末动能为零)。

1、全程能量关系：对铁块和车系统，－ΔE_k =ΔE_内 ，且，ΔE_内 = f_滑 S_相 ，

即：(m + M)v² = μmg·S_相

代入数字得：S_相 = 5.4 m

3、由 = 　+ 解v₁ ，得：v₁ =

v₁的方向：和水平方向成α角，α= arctg = arctg()

这就是最后的解。

(一个附属结果：质点相对半球的瞬时角速度 ω = 　= 　。)

2、代入③式解v₂ ，得：v₂ =

1、由①、②式得：v_1x = v₂ ，　　　　 v_1y = (tgθ) v₂　

3、将v₁ 、v的替代式代入①式解v₂即可。结果：v₂ =

(学生活动)思考：球形铰链触地前一瞬，左球、铰链和右球的速度分别是多少？

解：由两杆不可形变，知三球的水平速度均为零，θ为零。一个能量方程足以解题。

答：0 、 、0 。

(学生活动)思考：当两杆夹角为90°时，右边小球的位移是多少？

解：水平方向用“反冲位移定式”，或水平方向用质心运动定律。

答： 。

进阶应用：在本讲模型“四、反冲……”的“进阶应用”(见图8)中，当质点m滑到方位角θ时(未脱离半球)，质点的速度v的大小、方向怎样？

解说：此例综合应用运动合成、动量守恒、机械能守恒知识，数学运算比较繁复，是一道考查学生各种能力和素质的难题。

据运动的合成，有：

　= 　+ 　= 　-

其中必然是沿地面向左的，为了书写方便，我们设其大小为v₂ ；必然是沿半球瞬时位置切线方向(垂直瞬时半径)的，设大小为v_相 。根据矢量减法的三角形法则，可以得到(设大小为v₁)的示意图，如图16所示。同时，我们将v₁的x、y分量v_1x和v_1y也描绘在图中。

由图可得：v_1y =(v₂ + v_1x)tgθ　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

质点和半球系统水平方向动量守恒，有：Mv₂ = mv_1x　　　　　　　　 ②

对题设过程，质点和半球系统机械能守恒，有：mgR(1-cosθ) = M + m ，即：

mgR(1-cosθ) = M + m( + )　　　　　　　　　　 ③

三个方程，解三个未知量(v₂ 、v_1x 、v_1y)是可行的，但数学运算繁复，推荐步骤如下--