1．下列等式不正确的是

(　)

A．a+0＝a　　　　 B．a+b＝b+a

C.+≠0　 　　　　　　　　　 D.＝++

[解析]　解法1：∵与为相反向量，

∴+＝0，∴C不正确．

解法2：+＝(－)+(－)

＝－－+＝0.∴C不正确．

[答案]　C

23．(本小题满分10分)

一个袋中装有黑球，白球和红球共n()个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．

(1)若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望；

(2)当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?

22． (本小题满分10分)

如图，在直三棱柱中，，AB=AC=a，，点E，F分别在棱，上，且，．设．

　 (1)当=3时，求异面直线与所成角的大小；

(2)当平面⊥平面时，求的值．

21．[选做题]在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4-1：几何证明选讲

如图，在梯形中，∥BC，点，分别在边，上，设与相交于点，若，，，四点共圆，求证：．

B．选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵=，求的特征值，及对应的特征向量．

C．选修4-4：坐标系与参数方程

　 已知曲线的方程，设，为参数，求曲线的参数方程．

D．选修4-5：不等式选讲

设实数满足，求的最小值，并求此时的值．

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

20． [解]：(1)当时，

　　　　　　　 …………(2分)

当时，，在内单调递增；

当时，恒成立，故在内单调递增；

的单调增区间为。　　　　　　　　　　　　　　　 …………(6分)

(2)①当时，，

，恒成立，在上增函数。

故当时，。　　　　　　　　　　　　　　 …………8分)　

②当时，，

(Ⅰ)当，即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，，且此时　　　　　 …………(10分)　　　　　

(Ⅱ)当，即时，在时为负数，在时为正数，所以在区间上为减函数，在上为增函数。故当时，，且此时。　　　　　　　　　　　　 …………(12分)

(Ⅲ)当，即时，在进为负数，所以在区间上为减函数，故当时，。　　　　　　　　　　　　　 …………(14分)

所以函数的最小值为。

由条件得此时；或，此时；或，此时无解。

综上，。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………(16分)

数学Ⅱ(附加题)

20．(本小题满分16分)设，函数.

(Ⅰ)当时，求函数的单调增区间；

(Ⅱ)若时，不等式恒成立，实数的取值范围.．

19．(本小题满分16分)

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.

(1)求该船的行驶速度(单位：海里/时);

(I2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

19解　 (1)如图，AB=40，AC=10，

由于0<<,所以cos=……………………………2分

由余弦定理得BC=……………………6分

所以船的行驶速度为(海里/小时).　 　……………………………8分

(2)解法一　 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是

B(x₁，y₂), C(x₁，y₂),BC与x轴的交点为D.

由题设有，x₁=y₁= AB=40, ……10分

x₂=ACcos.

……12分

所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.

又点E(0，-55)到直线l的距离d=…………15分

所以船会进入警戒水域.　　　　　　　　 ……………………………16 分

　解法二　 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，

由余弦定理得，

===.…………10 分

从而

在中，由正弦定理得，

AQ=…………12分

由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，

PE=QE·sin

=　　　　　　　　　 ………………………15 分

所以船会进入警戒水域.　　　　　　　　　　　 ………………………16 分

18． 解：(1)设点，依题意，有

． 　　　　　　　　　　　　　　　　----------2分

整理，得．

所以动点的轨迹的方程为． 　　　　　　　-------------5分

(3)由题意：设N,A ，则B

,　　　　　　　　　　　　　 ---------------7分

=＝

　　＝为定值。-----------------------------10分设

(2)M，则切线MQ的方程为：

由得Q　　　　　　　 ------------12分

，

=　　　　　　　 ----------15分

所以：　即MF与OQ始终保持垂直关系　　 -------------16分

18．(本小题满分16分)已知动点到定直线：的距离与点到定点之比为．

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)若点N为轨迹上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为、，问是否为定值？

(3)若点M为圆O：上任意一点(不在x轴上)，过M作圆O的切线，交直线于点Q，问MF与OQ是否始终保持垂直关系？

17．(本小题满分14分)

已知分别以和为公差的等差数列和满足，．

(1)若=18，且存在正整数，使得，求证：；

(2)若，且数列，，…，，，，…，的前项和满足，求数列和的通项公式；

17解：(1)依题意，，

　 即，　 即；………4分

　　　 　 等号成立的条件为，即 ，

，等号不成立，原命题成立．　 …………………………7分

(2)由得：，即：，

　 则，得　　　　　　　　　 …………………………11分

　　　　　 ，，　　　 …………………………13分

则，；　　　　　　　 ………………………………14分