1、掌握基数词、序数词构成

3、冠词常见的习惯搭配用法

2、不定冠词和定冠词的位置

1、不定冠词、定冠词和零冠词的基本用法

　 与　

是互素的合数．(这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元素个数．)

证 我们用表示有限数集X中元素的算术平均．

第一步，我们证明，正整数的n元集合具有下述性质：对的任意两个不同的非空子集A，B，有．

证明：对任意，，设正整数k满足

　　　　　　　　　　　 ，　　　　　　　　　　　　 ①

并设l是使的最小正整数．我们首先证明必有．

　 事实上，设是A中最大的数，则由，易知A中至多有个元素，即，故．又由的定义知，故由①知．特别地有．

此外，显然，故由l的定义可知．于是我们有．

若，则；否则有，则

　　　　 ．

由于是A中最大元，故上式表明．结合即知．

现在，若有的两个不同的非空子集A，B，使得，则由上述证明知，故，但这等式两边分别是A，B的元素和，利用易知必须A=B，矛盾．

第二步，设K是一个固定的正整数，，我们证明，对任何正整数x，正整数的n元集合具有下述性质：对的任意两个不同的非空子集A，B，数与是两个互素的整数．

事实上，由的定义易知，有的两个子集，满足，，且

　　　　　 ．　　　　　　 ②

显然及都是整数，故由上式知与都是正整数．

现在设正整数d是与的一个公约数，则是d的倍数，故由②可知，但由K的选取及的构作可知，是小于K的非零整数，故它是的约数，从而．再结合及②可知d=1，故与互素．

第三步，我们证明，可选择正整数x，使得中的数都是合数．由于素数有无穷多个，故可选择n个互不相同且均大于K的素数．将中元素记为，则，且(对)，故由中国剩余定理可知，同余方程组

，

有正整数解．

　　 任取这样一个解x，则相应的集合中每一项显然都是合数．结合第二步的结果，这一n元集合满足问题的全部要求．

解 当为奇数时，存在合乎要求的染法；当为偶数时，不存在所述的染法。

每3个顶点形成一个三角形，三角形的个数为个，而颜色的三三搭配也刚好有种，所以本题相当于要求不同的三角形对应于不同的颜色组合，即形成一一对应．

我们将多边形的边与对角线都称为线段．对于每一种颜色，其余的颜色形成种搭配，所以每种颜色的线段(边或对角线)都应出现在个三角形中，这表明在合乎要求的染法中，各种颜色的线段条数相等．所以每种颜色的线段都应当有条．

当为偶数时，不是整数，所以不可能存在合乎条件的染法．下设为奇数，我们来给出一种染法，并证明它满足题中条件．自某个顶点开始，按顺时针方向将凸边形的各个顶点依次记为．对于，按理解顶点．再将种颜色分别记为颜色．

将边染为颜色，其中．再对每个，都将线段(对角线)染为颜色，其中．于是每种颜色的线段都刚好有条．注意，在我们的染色方法之下，线段与同色，当且仅当

．　　 　　　　　　①

因此，对任何，任何，线段都不与同色．换言之，如果

．　　　　　　　　 ②

则线段都不与同色．

任取两个三角形和，如果它们之间至多只有一条边同色，当然它们不对应相同的颜色组合．如果它们之间有两条边分别同色，我们来证明第3条边必不同颜色．为确定起见，不妨设与同色．

情形1：如果与也同色，则由①知

，　

，　

将二式相减，得，故由②知不与同色．

情形2：如果与也同色，则亦由①知

，　

，　

将二式相减，亦得，亦由②知与不同色．总之，与对应不同的颜色组合．　

解 不妨设，则对，有

，

所以　　　

　　　　　　　　 ．

当n为奇数时，　 ．

当n为偶数时，　

　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

所以，当n为奇数时，，当n为偶数时，，等号均在时成立．

因此，的最小值为(n为奇数)，或者(n为偶数)．

解 先证一个引理：顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．

事实上，设这个凸边形为，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设，则

，

更有．

而+，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理．

由引理知，若凸边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻．

在凸边形中，设顶点与为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设与的劣弧上包含了的条边()，这样的在固定时恰有对．

(1) 若凸边形的其余个顶点全在劣弧上，而劣弧上有个中的点，此时这个顶点的取法数为．

(2) 若凸边形的其余个顶点全在优弧上，取，的对径点，，由于凸边形在顶点，处的内角为锐角，所以，其余的个顶点全在劣弧上，而劣弧上恰有个中的点，此时这个顶点的取法数为．

所以，满足题设的凸边形的个数为

　　　　　　　　　　 ．

解：若，不妨设，则，故．

由Fermat小定理， ，得，即．易验证素数对不合要求，，合乎要求．

若为奇数且，不妨设，则，故．

当时素数对合乎要求，当时，由Fermat小定理有，故．由于为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以．经检验素数对合乎要求．

若都不等于2和5，则有，故

．　　　　　　　　 ①

由Fermat小定理，得　　　　 　，　　　　　　　　 ②

故由①，②得

．　　　　　　　　　 ③

设，， 其中为正整数．

若，则由②，③易知

，

这与矛盾！所以．

同理有，矛盾！即此时不存在合乎要求的．

综上所述，所有满足题目要求的素数对为

，，，，，及．

(1)若A，B，C，D四点共圆，求证：；

(2)若 ，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论．

解(1)设Q，R分别是OB，OC的中点，连接EQ，MQ，FR，MR，则

，

又OQMR是平行四边形，所以

，

由题设A，B，C，D四点共圆，所以

，

于是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图1

　　　　　　　 ，

所以　　　　 ，

故　　　　　　　　　　　 ，

所以　　　　　　　　　　　 EM＝FM，

同理可得　　　　　　　　　 EN＝FN，

所以　　　　　　　　　 ．

(2)答案是否定的．

当AD∥BC时，由于，所以A，B，C，D四点不共圆，但此时仍然有，证明如下：

如图2所示，设S，Q分别是OA，OB的中点，连接ES，EQ，MQ，NS，则

，

所以　　　　　　　　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　 ①

又，所以

．　　　　　　　　　 　　　　②

而AD∥BC，所以

，　　　　　　　　　　　　　 ③

由①，②，③得　　　　　　 ．

因为　　　 ，

　　　 ，

即　　　　　　　　　　　　 ，

所以　　　　　　　　　　　 -，

故　　　　　　　　　　 (由②)．

同理可得，　　　　　　　　 ，

所以　　　　　　　　　　　　 ，

从而　　　　　　　　　 ．