13．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)至少有1名女运动员；

(3)队长中至少有1人参加；

(4)既要有队长，又要有女运动员．

解：(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法．

第二步：选2名女运动员，有C种选法．

共有C·C＝120种选法．

(2)解法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．

由分类计数原理可得总选法数为

CC+CC+CC+CC＝246种．

解法二：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解．

从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．

所以“至少有1名女运动员”的选法为C－C＝246种．

(3)解法一：可分类求解：

“只有男队长”的选法为C；

“只有女队长”的选法为C；

“男、女队长都入选”的选法为C；

所以共有2C+C＝196种选法．

解法二：间接法：

从10人中任选5人有C种选法，

其中不选队长的方法有C种．所以“至少1名队长”的选法为C－C＝196种．

(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C种选法．其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有C－C种选法．

所以既有队长又有女运动员的选法共有

C+C－C＝191种．

12．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？

解：可先分组再分配，据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有CA种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有A种方案．由分类计数原理可知共有CA+A＝60种方案．

11．某校开设9门课程，供学生选修，其中A、B、C 三门由于上课时间相同，至多选1门，学校规定，每位同学选修4门，共有__________种不同的选修方案．(用数字作答)．

答案：75

解析：第一类：从A、B、C 三门选一门有C·C＝60种，第二类：从其它六门选4门有C＝15种，

∴共有60+15＝75种不同的方法．

10．将数字1,2,3,4,5,6 排成一列，记第i个数为a_i，(i＝1,2,3,4,5,6)，若a₁≠1，a₃≠3，a₅≠5，且a₁<a₃<a₅，则不同的排列方法有__________种．(用数字作答)

答案：30

解析：由题设知a₅必为6.

第一类：当a₁＝2时，a₃可取4、5，∴共有2A＝12种；

第二类：当a₁＝3时，a₃可取4、5，∴共有2A＝12种；

第三类：当a₁＝4时，a₃必取5，∴有A＝6种．

∴共有12+12+6＝30种．

9．(2009·北京市东城区)6个人分乘两辆不同的出租车，如果每辆车最多能乘4个人，则不同的乘车方案有________种．

答案：50

解析：由题意可知将6个人分为两组有4,2；3,3两种分组方式，若分组为4,2，则不同的乘车方案有CA＝30种，若分组为3,3，则不同的乘车方案有×A＝20种，综上可得不同的乘车方案共有30+20＝50种．

8．(2009·吉林省质检)A、B、C、D、E 5人争夺一次比赛的前三名，组织者对前三名发给不同的奖品，若A获奖，B不是第一名，则不同的发奖方式共有(　)

A．72种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．30种

C．24种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．14种

答案：B

解析：解答本题注意正确的分类，若A获奖且是第一名时，第二名和第三名由其他四人得有A种可能，若A获奖且不是第一名时，第一名只能由C，D，E三个人得，然后A获奖有2种可能，再由其他3个人选1个获得剩下的奖品，此时有3×2×3＝18种可能，故共有A+18＝30种发奖方式．故选B.

7．(2009·西安八校)从3名男生和3名女生中选出3人分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名女生，则不同的选派方案共有(　)

A．19种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．54种

C．114种 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．120种

答案：C

解析：从6个人中选出3人有C＝20种不同的选法，其中不选女生只有一种方法，则选3个人分别担任不同的课代表且至少有一名女生的不同选派方案共有(20－1)A＝114种．故选C.

6．(2008·杭州十中)将4名实习老师分配到高一年级的3个班级实习，每班至少1名，则不同的分配方案有(　)

A．6种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．12种

C．24种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．36种

答案：D

解析：先将4名实习教师无序分成3组，然后在3个班级全排列，则不同的分配方案有CA＝36，故选D.

5．(2008·天津六区联考)将A、B、C、D 四个球放入编号为1,2,3的三个盒子里，每个盒子中至少放一个球且A、B两个球不能放在同一个盒子中，则不同的放法有(　)

A．15　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．18

C．30　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．36

答案：C

解析：将A、B、C、D 四个球分成三组，然后放入三个编号为1,2,3的盒子中共有放法CA种，其中含有A，B在同一个盒子的放法A种，则所求放法有CA－A＝30种，故选C.

4．(2008·全国联考)高三(1)、(2)、(3)、(4)、(5)班进行4×100米接力赛时，没有出现两个班同时到达终点的情况，则(2)班的名次在(3)、(4)、(5)班名次之前的所有排列情况共有(　)

A．36种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．30种

C．27种　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．24种

答案：B

解析：(2)班名次在(3)，(4)，(5)班名次之前的所有排列情况有两种：第一，(2)班是第一名共有A种情况；第二，(2)班是第二名，则(1)班为第一名，共有A种情况，则共有A+A＝24+6＝30，故选B.