2、(1)v₀²=4gR；(2)；(3)A球受管的支持力为F_A，方向竖直向上；设B球受管的弹力为F_B，取竖直向上为F_B的正方向，根据牛顿第二定律

又两球受圆管的合力F_合=F_A+B_B，方向竖直向上，联立以上各式得F_合=6mg，方向竖直向上 ，根据牛顿第三定律，A、B两小球对轨道作用力的合力大小为6mg，方向竖直向下。

2．(东台市2008届第一次调研)一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)．在圆管中有两个直径略小于细管内径相同的小球(可视为质点)．A球的质量为m₁，B球的质量为m₂．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v₀．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，重力加速度用g表示．

(1)若此时B球恰好对轨道无压力，题中相关物理量满足何种关系？

(2)若此时两球作用于圆管的合力为零，题中各物理量满足何种关系？

(3)若m₁=m₂=m ，试证明此时A、B两小球作用于圆管的合力大小为6mg，方向竖直向下．

答案：1、(1)0.075m；(2)v=15m；(3)提速时应采取的有效措施是增大弯道半径 r和内外轨高度差h；

1．(07届广东省惠阳市综合测试卷三)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率。下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相应的轨道的高度差h。

(1)根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r=400m时，h的设计值。

(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧面压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值为L=1.435m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v(路轨倾角α很小时，tgα≈sinα)。

(3)随着人们的生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速改造，这就要求铁路转弯速率也需提高，请根据上述高处原理和上表分析，提速时应采取怎样的有效措施？(g取9.8m/s²)

1、利用极限分析法的“放大”思想分析临界状态。认清临界情景和条件，建立临界关系是解决此类问题的关键。2、圆周运动中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。但也可用整体法来求解。

1、要会用极限分析法判定物体可能处的状态，进而正确受力分析。2、要注意确定物体做圆周运动的圆心和半径。3、只要物体做圆周运动．在任何一个位置和状态．都满足F_供=F_需建立该动力关系方程是解决圆周运动问题的基本方法。

类型二圆周运动中有关连接体的临界问题

[例2]如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为m的小物体A、B， A、B间用细线沿半径方向相连，它们到转轴距离分别为R_A=20cm，R_B=30cm。A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：

(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω₀；

(2)当A开始滑动时，圆盘的角速度ω；

(3)当即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何?

导示: (1)当细线上开始出现张力时，表明B与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为ω₀，则是kmg=mr_Bω₀²

解得： 　=3.7rad/s

(2)当A开始滑动时，表明A与盘的静摩擦力也已达到最大，设此时盘转动角速度为ω，线上拉力为F_T则，对A：F_fAm-F_T=mr_Aω²

对B：F_fBm+F_T=mr_Bω²

又：F_fAm=F_fBm=kmg

解得ω=4rad/s。

(3)烧断细线，A与盘间的静摩擦力减小，继续随盘做半径为r_A=20cm的圆周运动，而B由于F_fBm不足以提供必要的向心力而做离心运动。

答案：(1) 3.7rad/s　 (2) 4rad/s　 (3)A做圆周运动，B做离心运动

2、“杆模型”--管、杆的约束

(1) 临界条件：由于轻杆或管壁的支撑，小球能到达最高点的条件是小球在最高点时速度可以为零。

(2) 当0＜v＜ 时，杆对球的作用力表现为推力，推力大小为　 N=mg-m，N随速度增大而减小。

(3) 当v＞时，杆对球的作用力表现为拉力，拉力的大小为T= m-mg

[应用1](2008汕头市一中期中考试模拟)轻杆的一端固定一个质量为m的小球，以另一端o为圆心，使小球在竖直平面内做半径为r的圆周运动，则小球通过最高点时，杆对小球的作用力(　　 )

A．可能等于零　　　　　　 B．可能等于mg

C．一定与小球受到的重力方向相反

D．一定随小球过最高点时速度的增大而增大

导示: 由于轻杆可以对小球提供支持力，小球通过最高点的最小速度v=O，此时支持力F_N=mg；当O<v<时，杆对小球的作用力为支持力，方向竖直向上，大小随小球过最高点时速度的增大而减小，取值范围为0<F_N<mg；当v=时，F_N=0；当v>时，杆对小球的作用力为拉力，方向竖直向下，大小随小球过最高点时速度的增大而增大。故答案应为A、B。

解答竖直面内的圆周运动问题时，首先要搞清是绳模型还是杆模型，在最高点绳模型小球的最小速度是；而杆模型小球在最高点的最小速度为零，要注意根据速度的大小判断是拉力还是支持力。

知识点二物理最高点与几何最高点

如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动时，C为最高点，D为最低点，C点速度最小，D点速度最大。但是若加水平向右的电场E，小球带电量为+q，则在A点速度最小，在B点速度最大，小球在A点时重力与电场力的合力指向圆心，小球在B点时，重力与电场力的合力沿半径向外，这与只有重力时C、D两点的特性相似。我们把A、B两点称为物理最高点和物理最低点，而把C、D两点称为几何最高点和几何最低点。

[应用2](淮阴中学08届高三测试卷)如图所示，细线一端系住一质量为m的小球，以另一端o为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动。若球带正电q，空间有竖直向上的匀强电场E，为使小球能做完整的圆周运动，在最低点A小球至少应有多大的速度?

导示: 求解本题的关键是找出带电粒子在复合场中做圆周运动的“等效最高点”以便求出小球在“等效最高点”的临界速度，进一步求出小球在最低点A的速度．

由于m、q、E的具体数值不详，故应分别讨论如下： (1)若qE<mg，则等效重力场的方向仍向下，等效重力加速度： g′=(mg-Eq)/m．因此在最高点的临界速度v_B==

由动能定理得：mg′·2R=mv_A²-mv_A²

整理得：

　(2) 若qE>mg，则等效重力场的方向向上，等效重力加速度： g′=(Eq-mg)/m．在该等效重力场中小球轨迹“最高点”(实际为问题中的最低点--即A点)的临界速度

v_B==

(3)若qE=mg，则等效重力场消失，小球在竖直面内做匀速圆周运动，能使小球做完整圆周运动的条件是v_B >0。

该类题的关键是求出等效重力mg′，找出等效重力场中的“等效最高点”--物理最高点，在“等效最高点”的速度v′=

类型一水平面内的临界问题

[例1]如图所示，两绳系一个质量为m=0．1 kg的小球。两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L=2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30⁰和45⁰。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧?(g取10m/s²)

导示:两绳张紧时，小球受力如图所示。当ω由O逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。

(1)BC恰好拉直，但F₂仍然为零，设此时的角速

度为ω₁，则有

F_x=Fsin30⁰=mω₁²Lsin30⁰　　

F_y=Fcos30⁰-mg=O　　

代入数据得，ω₁=2.40rad/s

(2)AC由拉紧转为恰好拉直，但F₁已为零，设此时的角速度ω₂，则有

F_x=F₂sin45⁰=mω₂²Lsin30⁰　

F_y=F₂cos45⁰-mg=O　

代入数据得，ω₂=3.16rad/s

答案：2.40rad/s≤ω≤3.16rad/s

绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力．

　　 (1)杯子在最高点的最小速度v_min=____．

(2)当杯子在最高点速度为v>v_min时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度v<v_min，则杯子不能到达最高点。

知识点一竖直平面内的圆周运动

竖直平面内的变速圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。

　　 此类问题多为讨论最高点时的情况，下面具体分析几种情况：

1、“绳模型”--外轨、绳的约束

(1)临界条件：小球到最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零，小球的重力提供做圆周运动的向心力，

　　 mg=mv_临²/r　　　 v_临=

即 v_临 是小球能通过最高点时的最小速度

(2)能通过最高点的条件：v≥v_临

(3)不能通过最高点的条件v<v_临。这种情况实际上小球在到达最高点之前就脱离了轨道

由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大．如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使________略高于_________，从而_________和_________ 的合力提供火车拐弯时所需的向心力。

　　 铁轨拐弯处半径为R，内外轨高度差为H，两轨间距为L，火车总质量为M，则：

　　 (1)火车在拐弯处运动的“规定速度’’即内外轨均不受压的速度v_p=_________；

(2)若火车实际速度大于v_p，则___轨将受到侧向压力；

(3)若火车实际速度小于v_p，则___轨将受到侧向压力。

100．(有关数列极限的题目)

(1)计算：__________；　　　 (2)计算：___________；

(3)计算：___________；(4)若，则常数_________；

(5)_________；　　　 (6)数列的前项和为，则_________；

(7)若常数满足，则___________；

(8)设函数，点表示坐标原点，点(为正整数)．

若向量，是与的夹角(其中)，

设，则_________；

99．过抛物线(为常数且)的焦点作抛物线的弦，则等于_________；