题型1：数量积的概念

例1．判断下列各命题正确与否：

(1)；

(2)；

(3)若，则；

(4)若，则当且仅当时成立；

(5)对任意向量都成立；

(6)对任意向量，有。

解析：(1)错；(2)对；(3)错；(4)错；(5)错；(6)对。

点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零.

例2．　 已知△中，过重心的直线交边于，交边于，设△的面积为，△的面积为，，，则(ⅰ) (ⅱ)的取值范围是　　　　　　　 .

[解析]设，，，，因为是△的重心，故

，又，，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得.

(ⅰ)，故；

(ⅱ)，那么

，当与重合时，，当位于中点时，

，故，故但因为与不能重合，故

(2)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①(·)－(·)=　 ②||－||<|－|　 ③(·)－(·)不与垂直

④(3+2)(3－2)=9||²－4||²中，是真命题的有(　　 )

A.①②　 　　　　　　　　　　 B.②③　 　　　　　　　　　　 C.③④　 　　　　　　　　　　 D.②④

解析：(1)答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向.

(2)答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［(·)－(·)］·=(·)·－(·)·=0，所以垂直.故③假；④(3+2)(3－2)=9··－4·=9||²－4||²成立。故④真。

点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。

题型2：向量的夹角

例3．(1)过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为(　　 )

(A)4　　 (B)3　 (C)2　　 (D)1

解析：取△ABC为正三角形易得＝3．选B．

评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．

(2)已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是　　　　　　　　　　　 。

(3)已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。

(4)| |=1，| 　|=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角为　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　　 C．120°　　　　　　　　 D．150°

解析：(2)；

(3)由题意，，且与的夹角为，

所以，，

，

，

同理可得。

而，

设为与的夹角，

则。

(4)C；设所求两向量的夹角为

　　　 　即：

所以

点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握.

例4．(1)设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则(　　 )

A．－++=　　　　　　　　　　 B．-+=

C．+-=　　　　　　　　　　　 D．++=

(2)(2009广东卷理)已知向量与互相垂直，其中．

(1)求和的值；

(2)若，求的值．　　　　　　

解　 (1)∵与互相垂直，则，即，代入得，又，

∴.

(2)∵，，∴，

则，

2、(山东临沂2009年模拟)如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。

(1)　　　 求关于θ的表达式;

(2)　　　 求的值域。

解：(1)由正弦定理，得

(2)由，得

∴，即的值域为_.

2．向量的应用

(1)向量在几何中的应用；

(2)向量在物理中的应用。

1．向量的数量积

(1)两个非零向量的夹角

已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AOA＝θ(0≤θ≤π)叫与的夹角；

说明：(1)当θ＝0时，与同向；

(2)当θ＝π时，与反向；

(3)当θ＝时，与垂直，记⊥；

(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0°≤q≤180°。

(2)数量积的概念

已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积(或内积)。规定；

向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；

(3)数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积.

(4)向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：。

②乘法公式成立

；

；

③平面向量数量积的运算律

交换律成立：；

对实数的结合律成立：；

分配律成立：。

④向量的夹角：cos==。

当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=0⁰，当且仅当与反方向时θ=180⁰，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题.

(5)两个向量的数量积的坐标运算

已知两个向量，则·=。

(6)垂直：如果与的夹角为90⁰则称与垂直，记作⊥。

两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。

(7)平面内两点间的距离公式

设，则或。

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式) .

本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主.

预测2010年高考：

(1)一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目.

(2)一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；

2．向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

1．平面向量的数量积

①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

32.(3分)世界卫生组织已把铝列为食品污染源之一，规定每人每天的摄入量控制在0.004g以下。若在1 kg的米面食品中加入2 g明矾(明矾的化学式：KAl(SO₄)₂·12H₂O)，那么某人一天如果吃了100 g上述米面食品，通过计算说明他摄入的铝的量是否在安全范围之内。

31.(3分)实验室用回收的60 g 10%的稀硫酸和98%的浓硫酸(密度：1.84g·cm^－3)配制30%的硫酸溶液，需取浓硫酸多少毫升？可配得30%的硫酸多少克？

30.有一种不纯的一氧化碳气体，其中混有少量的水蒸气和二氧化碳。现提供下图所示的甲、乙、丙三种装置(每种都有若干个)，若要达到以下两个目的：

(1)证明混有水蒸气和二氧化碳；

(2)除去水蒸气和二氧化碳。

请回答：

(1)为了达到上述两个目的，请用各装置的代号表示出正确的连接顺序。

不纯的CO→________________________________→纯净的CO(3分)

(2)甲装置的作用是________________________________。

(3)乙装置的作用是________________________________。

(4)丙装置的作用是________________________________。

(5)丁装置的作用是________________________________。

29.有一种蓝色溶液具有下列性质：

(1)加入氢氧化钠溶液能生成蓝色沉淀；

(2)加入氯化钡溶液能生成白色沉淀，再加稀硝酸沉淀不溶解；

(3)放入一根铁钉，铁钉表面出现红色物质。

根据上述实验现象可知，这种蓝色溶液是__________(写化学式)溶液，写出上述变化的三个化学方程式：

(1)________________________________；

(2)________________________________；

(3)________________________________。