20．(本小题满分16分)

设为实数，函数.

(1)　 若，求的取值范围；

(2)　 求的最小值；

(3)　 设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.

[解析](1)若，则

(2)当时，

　　 当时，

　　 综上

(3) 时，得，

当时，；

当时，得

1)时，

2)时，

3)时，

19.(本小题满分16分)

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.

　现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为

(1)　 求和关于、的表达式；当时，求证：=；

(2)　 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

(3)　 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

(4)　 求和关于、的表达式；当时，求证：=；

(5)　 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

(6)　 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

[解析](1)

　 当时，

显然

(2)当时，

由，故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为

18．(本小题满分16分)

在平面直角坐标系中，已知圆和圆

(1)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

[解析](1) 或，

(2)P在以C₁C₂的中垂线上，且与C₁、C₂等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为或。

17．(本小题满分14分)

设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足

(1)求数列的通项公式及前项和；

(2)试求所有的正整数，使得为数列中的项.　

(1)设公差为，则，由性质得，因为，所[解析]以，即，又由得，解得，

所以的通项公式为，前项和。

(2)，令，，

因为是奇数，所以可取的值为，当，时，，，是数列中的项；，时，，数列中的最小项是，不符合。

所以满足条件的正整数。

16．(本小题满分14分)

如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，

求证：(1)∥

(2)

[解析]证明：(1)因为分别是的中点，所以，又，，所以∥；

(2)因为直三棱柱，所以，，又，所以，又，所以。

15．(本小题满分14分)

设向量

(1)若与垂直，求的值；

(2)求的最大值;

(3)若，求证：∥.

[解析]由与垂直，，

即，；

，最大值为32，所以的最大值为。

由得，即，

所以∥.

14．设是公比为的等比数列，，令若数列有连续四项在集合中，则　 ★　 .

[答案]

[解析]将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.

13．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为　　 ★　　 .

[答案]

[解析]用表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.

12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：

(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；

(2)若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；

(3)设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；

(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.

上面命题中，真命题的序号 　　　★　　　 (写出所有真命题的序号).

[答案](1)(2)

[解析]略

11.已知集合，，若则实数的取值范围是，其中★　 .

[答案]4

[解析]由得，；由知，所以4。