22．解：(1)

　　　 由k≥－1，得3x²－2ax+1≥0，即a≤恒成立…………(2分)

　　　 ∴a≤(3x+)_{min………………………………………………………………(4分)}

　　　 ∵当x∈(0，1)时，3x+≥2=2，当且仅当x=时取等号.

　　　 ∴(3x+)_min =.故a的取值范围是(－∞，].……………………(6分)

　 (2)设g(x)=f(x)+a(x²－3x)=x³－3ax，x∈［－1，1］则

　　　 g′(x)=3x²－3a=3(x²－a).………………………………………………………(8分)

　 ①当a≥1时，∴g′(x)≤0.从而g(x)在［－1，1］上是减函数.

　　　 ∴g(x)的最大值为g(－1)=3a－1.…………………………………………(9分)

　 ②当0<a<1时，g′(x)=3(x+)(x－).

　　　 由g′(x) >0得，x>或x<－：由g′(x)< 0得，－<x<.

　　　 ∴g(x)在［－1，－］，［，1］上增函数，在［－，］上减函数.

　　　 ∴g(x)的极大值为g(－)=2a.…………………………………………(10分)

　　　 由g(－)－g(1)=2a+3a－1=(+1)·(2－1)知

　　　 当2－1<0，即0≤a<时，g(－)<g(1)

　　　 ∴g(x)=g(1)=1－3a．…………………………………………(11分)

　　　 当2－1≥0，即<a<1时，g(－)≥g(1)

　　　 ∴g(x)=g(－)=2a.………………………………………………(12分)

　 ③当a≤0时，g′(x)≥0，从而g(x)在［－1，1］上是增函数.

　　　 ∴g(x)=g(1)=1－3a………………………………………………………(13分)

　　　 综上分析，g(x) ………………………………(14分)

21．解：(1)由条件得M(0，－)，F(0，).设直线AB的方程为

　　　 y=kx+，A(，)，B(，).

　　　 则，，Q().

　　　 由得.

　　　 ∴由韦达定理得+=2pk，·=－

　　　 从而有= +=k(+)+p=………………(4分)

 的取值范围是.……………………………………………(6分)

　 (2)抛物线方程可化为，求导得.

　　　 ∴切线NA的方程为：y－即.

　　　 切线NB的方程为：………………………………………(8分)

　　　 由解得∴N()

　　　 从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同.

　　　 ∴NQ∥OF.即…………………………………………………………(9分)

　　　 又由(Ⅰ)知+=2pk，·=－p ∴N(pk，－).……………(11分)

　　　 而M(0，－)　 ∴

　　　 又. ∴.………………………………………………(12分)

20．解：由题意得：①…………………………………1分

②…………………………………2分

∵{a_n}、{b_n}都是各项均为正的数列

由②得

代入①得…………………………………4分

∴…………………………………7分

∴数列{b_n}是等差数列…………………………………8分

由a₁=1，b₁=及①②两式得……………_12分

19.解： (1)D为A₁C₁的中点. …………………………………2分

　 连结A₁B与AB₁交于E，

则E为A₁B的中点，DE为平面AB₁D与平面A₁BC₁的交线，

∵BC₁∥平面AB₁D

∴BC₁∥DE，∴D为A₁C₁的中点. ……………………………6分

(2) 解法一：过D作DF⊥A₁B₁于F，

由正三棱柱的性质，AA₁⊥DF，∴DF⊥平面AB₁，

连结EF、DE，在正三角形A₁B₁C₁中，

∵D是A₁C₁的中点，∴B₁D＝A₁B₁＝a，…………………7分

又在直角三角形AA₁D中，

∵AD＝＝a，∴AD＝B₁D. …………………………………8分

∴DE⊥AB₁，∴可得EF⊥AB₁，

则∠DEF为二面角A₁－AB₁－D的平面角. …………………………………10分

可求得DF＝a，

∵△B₁FE∽△B₁AA₁，

得EF＝a，∴∠DEF＝，即为所求. ……………12分

(2)解法(二)(空间向量法)

建立如图所示空间直角坐标系，则

A(0，－a,0)、B₁(0，a，a)、C₁(－a,0，a)、

A₁(0，－a，a)、D(－a，－a，a).

∴＝(0，a，a)，＝(－a，－a,0). ……8分

设＝(x，y，z)是平面AB₁D的一个法向量，

则可得，即.

∴＝(－，1，－).　…………………………10分

又平面AB₁的一个法向量

＝＝(－a,0,0)，设n₁与n₂的夹角是θ，

则 cosθ＝＝.

又可知二面角A₁－AB₁－D是锐角，

∴二面角A₁－AB₁－D的大小是.　

18．解：(1)配量合理的概率为………………………6分

　 (2)两次检查看成两次独立实验∴-B(

……………………………………11分

答：两次检查得到结果不一致的概率为………………………………………………12分

17．解：(1)依题意按向量m平移g(x)得

　　　 f(x)－=sin［2(x+)+］……………………………………(2分)

　　　 得f(x)=－sin(2x+)+……………………………………………(4分)

　　　 又f(x)=acos(x+)+b=－sin(2x+)++b

　　　 比较得a=1，b=0…………………………………………………………………(6分)

　 (2)(x)=g(x)－f(x)=sin(2x+)－cos(2x+)－

　　　 =sin(2x+)－………………………………………………………(9分)

　　　 2kπ－≤2x+≤2kπ+(k∈Z)

 kπ－≤x≤kπ+(k∈Z)

　　　 ∴(x)的单调增区间为［kπ－，kπ+］(k∈Z)………………(12分)

13．　 　14．60　 　15． 　　16． ①③④

22．(本小题满分14分)已知函数f(x)=x³－ax²，其中a为实常数.

　 (1)设当x∈(0，1)时，函数y = f(x)图象上任一点P处的切线的斜线率为k，若k≥－1，求a的取值范围；

　 (2)当x∈［－1，1］时，求函数y=f(x)+a(x²－3x)的最大值.

2007－2008学年度南昌市高三第一轮复习训练题

数学(二十) (文科综合卷二) 参考答案

21．(本小题满分13分)直线AB过抛物线x²=2py(p>0)的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点.

　 (1)求的取值范围；

　 (2)过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点.。求证：，.

20．(本小题满分12分)已知数列、都是各项均为正的数列，，对任意的自然数n都有成等差数列，成等比数列.

　 (1)试问数列是否是等差数列？并求的通项公式.