公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

作用：①作为判断和证明是否在平面内的依据；②证明点在某平面内的依据；③检验某面是否平面的依据.

公理：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.

作用：①作为判断和证明两平面是否相交；②证明点在某直线上；③证明三点共线；

④证明三线共点.

公理： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

推论:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.

推论:经过两条相交直线有且只有一个平面.

推论:经过两条平行直线有且只有一个平面.

　 作用：公理及其推论是空间里确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据，还为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法.

证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线

证明直线共面通常的方法：先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内(纳入法)；分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合(重合法)；

也可利用共面向量定理来证明.

公理是证明直线共点的依据，应该这样理解：如果、是交点，那么是交线；

如果两个不同平面有三个或者更多的交点，那么它们共面；

如果，点是a、b的一个公共点，那么

求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作(找)-证-算”.注意，异面直线所成角的范围是；求异面直线所成角的方法：①平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移.

②向量法：设、分别为异面直线、的方向向量,

则两异面直线所成的角；③补体法

两条异面直线的公垂线：①定义：和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做异面直线的公垂线；②证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直.

两条异面直线的距离：①定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度.

②计算方法：公垂线法；转化成线面距离(点面距离)；转化成面面距离.

(辽宁)已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是　　　　　

(湖北)双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于　　　　　 　　　　　　 　　 　　

(天津文)设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为

(四川)设、分别是椭圆的左、右焦点.

若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角(其中为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围.

(上海)点、分别是椭圆长轴的左、右端点，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且位于轴上方，.求点的坐标；设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值.

设集合，，且，求实数的取值范围.

正方体的面中有一动点到直线和的距离相等，则动点的轨迹是　　 一线段　　 抛物线的一部分 　椭圆　　 椭圆的一部分

要建造一座跨度为米，拱高为米的抛物线拱桥，建桥时，每隔米用一根柱支撑，两边的柱长应为　　　　　　　　　

(南京模拟)已知抛物线的焦点恰好是椭圆的

右焦点，且两条曲线的公共点的连线过，则该椭圆的离心率为

若椭圆和双曲线有共同的焦点、且是两条曲线的一个交点,则的面积是　　　 　　　　　　　　　　

已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为　 　

(届高三攸县一中)已知椭圆与双曲线有相同的准线，

则动点的轨迹为　 椭圆的一部分　　　　　　 双曲线的一部分

抛物线的一部分　　　　　　　　　　　　　 直线的一部分

已知圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是　　　　　　　　　　

求与圆：和圆：都外切的圆的圆心的轨迹方程为　　　　　　　　　　

对于任意，抛物线与轴交于两点，以表示该两点的距离，则的值是

问题1．(四川)已知两定点满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于、两点。如果且曲线上存在点，使求的值和的面积.

问题2．(湖南)已知椭圆：,抛物线：,

且、的公共弦过椭圆的右焦点

当轴时,求、的值，并判断抛物线的焦点是否在直线上；

是否存在、的值，使抛物线的焦点恰在直线上？若存在，

求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.

问题3．(宁夏)在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．求的取值范围；

设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．

问题4．(重庆)　 已知一列椭圆：，.….

若椭圆上有一点，使到右准线的距离是与

的等差中项，其中、分别是的左、右焦点。

试证：≤(≥)；

取，并用表示的面积，

试证：且 (≥)

问题5．某工程要挖一个横断面为半圆柱形的坑，挖出的土只能沿道路、运到处(如图)，已知，，，试说明怎样运土最省工

圆锥曲线综合问题包含内部综合、圆锥曲线与其它章节的综合以及运用圆锥曲线解决实际问题前者用到圆锥曲线重要的思想与方法，是高考的热点；圆锥曲线与其它章节的综合要注意各部分知识点的联系，后者要通过建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解.

对于较为综合的解析几何问题，必须对题目的内涵进行深刻挖掘的基础上，应用整体思想，构建转化的“框架”，然后，综合利用代数手段解题.

圆锥曲线的定义是解决综合题的基础，定义在本质上揭示了平面上的动点与定点(或定直线)的距离满足某种特殊关系，从数形结合思想去理解圆锥曲线中的参数(等)的几何意义以及这些参数间的相互关系，进而通过它们之间组成题设条件的转化.

综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.

解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.

(重庆)已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.(Ⅰ)求双曲线的方程；

(Ⅱ)若直线：与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点和满足(其中为原点)，求的取值范围.

(江西)是双曲线的右支上一点，分别是圆

和上的点，则的最大值为　　 　　　

(重庆)如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：.

求椭圆的方程；在椭圆上任取三个不同点，使

证明：为定值，并求此定值.

(全国Ⅰ)已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线。

(Ⅰ)求椭圆的离心率；

(Ⅱ)设为椭圆上任意一点，且，证明为定值.

(全国Ⅱ)、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．

(浙江)已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点、在双曲线的右支上，点到直线的距离为， 若直线的斜率为，且, 求实数的取值范围； 当时，的内心恰好是点，求此双曲线的方程.

(重庆文)如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.

求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；

若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值.

(山东)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)若直线：与椭圆相交于，两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

已知椭圆()的右焦点为，过作直线与椭圆相交于、两点，若有，求椭圆离心率的取值范围.

过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的弦、，

求证：交抛物线的对称轴上一定点.

如图，在双曲线的上支上有三点，

，，它们与点的距离成等差数列.

求的值；证明：线段的垂直平分线经过

某一定点，并求此点坐标.

在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.

对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线(曲线)上两点的坐标，利用坐标在直线(或曲线)上，建立点的坐标满足的方程(组)，求出相应的直线(或曲线)，然后再利用直线(或曲线)过定点的知识加以解决.

解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.

(二)典例分析：

问题1． (广东)在平面直角坐标系中，

抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足．

(Ⅰ)求得重心的轨迹方程；

(Ⅱ)的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；

若不存在，请说明理由．

问题2．已知椭圆上的两个动点及定点 ，为椭圆的左焦点，且，，成等差数列.求证：线段的垂直平分线经过一个定点；

设点关于原点的对称点是，求的最小值及相应的点坐标.

问题3．(全国Ⅱ)已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且()．过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为．

(Ⅰ)证明为定值；

(Ⅱ)设的面积为，写出的表达式，并求的最小值．

问题4．直线：和双曲线的左支交于、两点，直线过点和线段的中点，求在轴上的截距的取值范围.

(天津)设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．(Ⅰ)证明；

(Ⅱ)设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．

(陕西)如图,三定点,,; 三动点满足, ,, ， (Ⅰ) 求动直线斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点的轨迹方程.

已知动点满足，则点的轨迹是

椭圆　　　 双曲线　　　　 抛物线　　　　 两相交直线

(辽宁)已知点、，动点满足，则点

的轨迹是 　　圆　 　　椭圆 　　　双曲线　　　 　抛物线

在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，若点满足

，其中，且，则点的轨迹方程是　　　　

已知点在以原点为圆心的单位圆上运动，则点的轨迹是

　　 圆 　　　　　　　　 　抛物线 　　　　 　椭圆　　　　 　　　 双曲线

： 内部一点与圆周上动点连线的中垂线

交于，求点的轨迹方程.

已知圆：和圆：，动圆同时与与圆 相外切，求动圆圆心的轨迹.

已知椭圆：，试确定的取值范围，使得椭圆上存在两个不同的点关于直线对称.

设椭圆与双曲线有公共的焦点，，并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的倍，试求椭圆与双曲线交点的轨迹.