要使(≥)有反函数，则的最小值为　　　　　

设，则

(新课程)函数 图象与其反函数图象的交点坐标为　　　

若函数的图象经过点，则函数的反函数图象必经过

(全国Ⅰ)已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则　　　　　　　

问题1． 求下列函数的反函数：

(全国)(≥)；(上海春) ()

(上海)()；()

()； 　　　　　(≤)；

(安徽).　　　 　

问题2．

(北京文)已知函数的反函数的图象经过点，则　　　

已知，求的值

问题3．(辽宁)与方程的曲线关于直线对称的

曲线方程为　　 　　 　　　　

函数的反函数

是奇函数，且在是减函数是偶函数，且在是减函数

是奇函数，且在是增函数是偶函数，且在是增函数

(全国)设函数(≤≤)，则函数的图像是

问题4．函数的图象关于对称，求的值．

设函数，又函数与的图象关于对称，求．

问题5．已知，是上的奇函数．求的值，

求的反函数，对任意的解不等式．

求反函数的一般步骤：求原函数的值域；反解，由解出；

写出反函数的解析式(互换)，并注明反函数的定义域(即原函数的值域).

注：析分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成.

若函数与互为反函数，且在的图像上，则在图像上。

若函数与互为反函数，若，则.

求证一个函数的图象关于成轴对称图形，只须证明.

设函数的定义域为，值域为，由求出.如果对于中 每个值，在中都有唯一的值和它对应，那么为以为自变量的函数，叫做的反函数，记作，()

反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；

反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若与

互为反函数，函数的定义域为、值域为，则，；

互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于对称．

一些结论：定义域上的单调函数必有反函数；奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数.周期函数在整个定义域内不存在反函数.

(福建)是定义在上的以为周期的奇函数，且在区间内解

的个数的最小值是　　　 　　　　　　　　　　　　　　

(安徽)定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．

若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为

　(全国)已知函数为上的奇函数，且满足，

当时，，则等于(　　 )

(安徽)函数对于任意实数满足条件，若，

则 　　　　　　　　　

　(福建文)已知是周期为的奇函数，当时，

设则

(天津)定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期

是，且当时，，则的值为

(天津)设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线

对称，则　　　　　 　

(广东)设函数在上满足，，且在闭区间上，只有．

(Ⅰ)试判断函数的奇偶性；

(Ⅱ)试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论

已知函数是以为周期的周期函数，且当时，，则

的值为　　 　　　　　　　　　　

设偶函数对任意，都有，且当时，

，则　　 　　　　　　　　　　

设函数是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，

当≤时，，则　　 　　　　　　　

已知是定义在实数集上的函数，满足，且时，.求时，的表达式；证明是上的奇函数．

(朝阳模拟)已知函数的图象关于点对称，且满足，又，，求…的值

(北京春)若存在常数，使得函数满足，

的一个正周期为　　　　　　

设函数()是以为周期的奇函数，且，则

函数既是定义域为的偶函数，又是以为周期的周期函数，若在上

是减函数，那么在上是

增函数　　 　　减函数 　　先增后减函数　　　 先减后增函数

设，记，则　　　　　　　

问题1．(山东)已知定义在上的奇函数满足，则的值为　　 　　　　　　　　　　　　　

问题2．(上海) 设的最小正周期且为偶函数,

它在区间上的图象如右图所示的线段,则在区间上,

已知函数是周期为的函数，当时，，

当 时，的解析式是　　　　　　 　

　是定义在上的以为周期的函数，对，用表示区间，

已知当时，，求在上的解析式。

问题3．(福建)定义在上的函数满足，当时，

，则　 ； ；

(天津文) 设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，

且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是　　　　

问题4．定义在上的函数，对任意，有，且，求证：；判断的奇偶性；

若存在非零常数,使，①证明对任意都有成立；

②函数是不是周期函数，为什么？

问题5．(全国)设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任

意的，都有.

设，求、；证明：是周期函数.

记，求.

判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有;

　二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.

解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。

周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得

恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，

则()也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数满足对定义域内任一实数(其中为常数),

①　　 ，则是以为周期的周期函数；

　②，则是以为周期的周期函数；

③，则是以为周期的周期函数；

　④，则是以为周期的周期函数；　　　　　　　　　

⑤，则是以为周期的周期函数.

⑥，则是以为周期的周期函数.

⑦，则是以为周期的周期函数.

⑧函数满足()，若为奇函数，则其周期为，

若为偶函数，则其周期为.

⑨函数的图象关于直线和都对称，则函数是以

为周期的周期函数；

⑩函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；

⑾函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；