对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题.

(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

3．数学思想

(1)迭加累加(等差数列的通项公式的推导方法)若，则……；

(2)迭乘累乘(等比数列的通项公式的推导方法)若，则……；

(3)逆序相加(等差数列求和公式的推导方法)；

(4)错位相减(等比数列求和公式的推导方法).

2．常用结论

(1) 1+2+3+...+n = 　　　

(2)1+3+5+...+(2n-1) =

　 (3)　

(4)　

(5)　

(6)

1．数列求和的常用方法

(1)公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；

(2)裂项相消法：适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等；

(3)错位相减法：适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。

(4)倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

(5)分组求和法

(6)累加(乘)法等.

题型1：裂项求和

例1．已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。

解析：首先考虑，则=。

点评：已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和也可用裂项求和法。

例2．求。

解析：， 　　 　　　　 .

点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。

题型2：错位相减法

例3．设a为常数，求数列a，2a²，3a³，…，naⁿ，…的前n项和。

解析：①若a=0时，S_n=0；

②若a=1，则S_n=1+2+3+…+n=；

③若a≠1，a≠0时，S_n-aS_n=a(1+a+…+a^n-1-naⁿ)，

S_n=。

例4．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。

解析：，

①-②得：，

.

点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。

题型3：倒序相加

例5．求。

　　 解析：。　 ①

　　 又。　 ②

所以。

点评：S_n表示从第一项依次到第n项的和，然后又将S_n表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到S_n的一种求和方法。

例6．设数列是公差为，且首项为的等差数列，

求和：

解析：因为，

，

。

点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。

题型4：其他方法

例7．求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n项和。

解析：本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前n项中共有个奇数，

故。

例8．求数列1，3+，3²+，……，3ⁿ+的各项的和。

解析：其和为(1+3+……+3ⁿ)+(+……+)==(3ⁿ⁺¹－3^-n)。

题型5：数列综合问题

例9．(2009湖北卷文)设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，[],

A.是等差数列但不是等比数列　　　　　　 B.是等比数列但不是等差数列

C.既是等差数列又是等比数列　　　　　　 D.既不是等差数列也不是等比数列

[答案]B

[解析]可分别求得，.则等比数列性质易得三者构成等比数列.

例10．(2009湖南卷理)将正⊿ABC分割成(≥2，n∈N)个全等的小正三角形(图2，图3分别给出了n=2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2)　　　

答案

解析 当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知

即

进一步可求得。由上知中有三个数，中 有6个数，中共有10个数相加 ，中有15个数相加….，若中有个数相加，可得中有个数相加，且由

可得所以

=

题型6：数列实际应用题

例11．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？

　 (取)

解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，

①甲方案获利：(万元)，

银行贷款本息：(万元)，

故甲方案纯利：(万元)，

②乙方案获利：

(万元)；

银行本息和：

(万元)

故乙方案纯利：(万元)；

综上可知，甲方案更好。

点评：这是一道比较简单的数列应用问题，由于本息金与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解.

例12．(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知点(1，)是函数且)的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+().

(1)求数列和的通项公式；

(2)若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少?　　　

解(1),

　,,

　.

又数列成等比数列， ，所以 ；

又公比，所以　 　；

又,, ；

数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，

当， 　；

()；

(2)

　　；

　 由得，满足的最小正整数为112.

题型7：课标创新题

例13．(2009广东卷理)知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：.

解：(1)设直线：，联立得，则，∴(舍去)　　

，即，∴

(2)证明：∵　　　

∴

由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，

则有，即.　　　　　　　　

例14．(2009安徽卷理)首项为正数的数列满足　　　　　

(I)证明：若为奇数，则对一切都是奇数；

(II)若对一切都有，求的取值范围.

解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。

解：(I)已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，

则由递推关系得是奇数。　　　　

根据数学归纳法，对任何，都是奇数.

(II)(方法一)由知，当且仅当或。

另一方面，若则；若，则

根据数学归纳法，

综合所述，对一切都有的充要条件是或。

(方法二)由得于是或。

因为所以所有的均大于0，因此与同号。

根据数学归纳法，，与同号。　　　　

因此，对一切都有的充要条件是或。

2．递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系a_n+k=f(a_n+k－1,a_n+k－2,…,a_n)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由a_n+1=2a_n+1，及a₁=1，确定的数列即为递归数列.

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：

(1)归纳、猜想、数学归纳法证明。

(2)迭代法。

(3)代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。

(4)作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题.

1．数列求通项与和

(1)数列前n项和S_n与通项a_n的关系式：a_n=　 。

(2)求通项常用方法

①作新数列法。作等差数列与等比数列；

②累差叠加法。最基本的形式是：a_n=(a_n－a_n－1)+(a_n－1+a_n－2)+…+(a₂－a₁)+a₁；

③归纳、猜想法。

(3)数列前n项和

①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)；

1²+2²+…+n²=n(n+1)(2n+1)；

1³+2³+…+n³=(1+2+…+n)²=n²(n+1)²；

②等差数列中，S_m+n=S_m+S_n+mnd；

③等比数列中，S_m+n=S_n+qⁿS_m=S_m+q^mS_n；

④裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即a_n=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：、=－、n·n！=(n+1)!－n!、C_n－1^r－1=C_n^r－C_n－1^r、=－等.

⑤错项相消法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列，

记，则，…

⑥并项求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S_n。

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法.

⑦通项分解法：

2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合.

1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；