3.已知空间三点A(1，1，1)、B(－1，0，4)、C(2，－2，3)，则与的夹角θ的大小是_________.

2．在正方体A-C₁中，E、F分别为D₁C₁与AB的中点，则A₁B₁与截面A₁ECF所成的角为　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

A．arctan　　 B．arccos 　C．arcsin　　　 D．都不对

[填空题]

1．设OABC是四面体，G₁是△ABC的重心，G是OG₁上一点，且OG=3GG₁，若 =x+y+z，则(x，y，z)为　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A(，，)　　　 B(，，)　　

C(，，)　　 　　 D(，，)

2．求点面距离，线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法：

同步练习　　　 9.8用空间向量求角和距离

[选择题]

1.求线线角、线面角、二面角的方法：

[例1] (2005江西)如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.(1)证明：D₁E⊥A₁D；

(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

(3)AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为.

解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁(1，0，1)，D₁(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)C(0，2，0)

(1)

(2)因为E为AB的中点，则E(1，1，0)，

从而，，

设平面ACD₁的法向量为不与y轴垂直,可设

，则

也即，得，从而，

∴点E到平面AD₁C的距离:

(3)

设平面D₁EC的法向量，

由　

依题意

∴(不合，舍去)， .

∴AE=时，二面角D₁-EC-D的大小为

[例2](2005全国)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，

且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。

(Ⅰ)证明：面PAD⊥面PCD；

(Ⅱ)求AC与PB所成的角；

(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.

(Ⅰ)证明：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0，0，0)B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，

又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD

(Ⅱ)解：因

由此得AC与PB所成的角为

(Ⅲ)解：设平面ACM的法向量为，

由得：

设平面BCM的法向量为同上得

　 ∴

结合图形可得二面角A-MC-B为

解法2：在MC上取一点N(x，y，z)，则存在使

要使

为所求二面角的平面角.

　[例3]如图，AF　 DE分别是⊙O　 ⊙O₁的直径　 AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD　

(Ⅰ)求直线BD与EF所成的角；

(Ⅱ)求异面直线BD和EF之间的距离.

解：(Ⅰ)以O为原点，BC　 AF　 OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，

则O(0，0，0)，A(0，，0)，B(，0，0),D(0，，8)，E(0，0，8)，F(0，，0)

所以，

设异面直线BD与EF所成角为，则

直线BD与EF所成的角为

(Ⅱ)设向量与BD、EF都垂直，则有

，

　 ∴ BD、EF之间的距离

4.(2，1，)，d_AB=

4．　 已知A(3，2，1)、B(1，0，4)，则线段AB的中点坐标和长度分别是　　　　　 ，　　　 .

◆答案提示： 1. C； 2. A； 3. ；

3．已知向量a=(1，1，0)，b=(－1，0，2)，且ka+b与2a－b互相垂直，则k= ___

2． 直三棱柱A₁B₁C₁-ABC，∠BCA=90°，D₁、F₁分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，BC=CA=CC₁，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是　　　　　　　　 (　)

A．　 B. 　　C．　 D．