例1

证：

左边 = 右边　　　 ∴等式成立

例2

　解：　　　

例3

解：

　从而

例4

解：　 　

诱导公式6：

sin(90° -a) = cosa,　 cos(90° -a) = sina.　

　　　　 tan(90° -a) = cota,　 cot(90° -a) = tana.　

　　　　 sec(90° -a) = csca,　 csc(90° -a) = seca

诱导公式7：

sin(90° +a) = cosa,　 cos(90° +a) = -sina.　

　　　　 tan(90° +a) = -cota,　 cot(90° +a) = -tana.　

　　　　 sec(90° +a) = -csca,　 csc(90°+a) = seca

如图所示　　 sin(90° +a) = M’P’ = OM = cosa

　　　　　　　 cos(90° +a) = OM’ = PM = -MP = -sina

或由6式：sin(90° +a) = sin[180°- (90° -a)] = sin(90° -a) = cosa

cos(90° +a) = cos[180°- (90° -a)] = -sin(90° -a) = -cosa

诱导公式8：

sin(270° -a) = -cosa,　 cos(270° -a) = -sina.　 　

tan(270° -a) = cota,　 　cot(270° -a) = tana.　

　　 sec(270° -a) = -csca,　 csc(270°-a) = seca

诱导公式9：

sin(270° +a) = -cosa,　 cos(270° +a) = sina.　

　　　　 tan(270° +a) = -cota,　 cot(270° +a) = -tana.　

　　 sec(270° +a) = csca,　 csc(270°+a) = -seca

诱导公式一(其中):　　　　 用弧度制可写成

公式二： 　　　　　　　　　用弧度制可表示如下：

公式三： 　　　　

公式四： 　　　　　　　　　用弧度制可表示如下：

公式五： 　　　　　　　　　　用弧度制可表示如下：

试题枚举

[例1] 下列哪种说法可以证明反应N₂ + 3H₂ 2NH₃已达到平衡状态(　　 )

　　　　 A. 1个N≡ N 键断裂的同时，有3个H - N键形成。

　　　　 B. 1个N≡ N断裂的同时，有3个H - N键断裂。

　　　　 C. 1个N≡ N断裂的同时，有6个H - N键断裂。

　　　　 D. 1个N≡ N键断裂的同时，有6个H - N键形成。

　 解析：根据化学平衡的定义，当一个可逆反应达到平衡时V_正= V_逆 ，同时各物质的百分含量保持不变，从本质上来讲反应虽然仍在进行，但各种物质的绝对量不再变化，我们就称为达到平衡状态，对此题关键要分清谁表示V_正 谁表示V_逆 ，例如，1个N≡N断裂，即表示要向右进行，生成NH₃即为V_正 ；而6个N-H键断裂表示向左进行，生成N₂与H₂，即V_逆。6个N-H形成，相当于生成2molNH₃，表示V_正 。根据同一反应中，用不同的物质来表示某反应的速率，若正、逆反应速率之比等于方程式各物质的系数之比，反应亦达到平衡，所以答案为A、C。

答案：A、C

[例2]　 能够充分说明在恒温恒容下的密闭容器中，反应2SO₂+O₂ 2SO₃已达平衡状态的标志是

　A.容器中SO₂、O₂、SO₃的物质的量之比为2：1：2

　B.SO₂ 和SO₃的物质的量浓度相等

　C.反应容器内压强不随时间变化而变化

　D.单位时间内生成2molSO₃ 时，即生成1molO₂

　解析：由于题目中没有给出各物质的起始量，也没有给出反应的具体条件，所以无法知道容器中SO₂、O₂、SO₃的物质的量之比为2：1：2时，及SO₂ 和SO₃的物质的量浓度相等时反应是否达到平衡，也就是说无法知道达到平衡后，SO₂ 和SO₃ 的物质的量浓度上否相等。所以A、B选项不能选为答案。由于此反应是气体非等体积反应，在恒温恒容下，压强不变，说明各物质的浓度不变，故C选项正确。由于单位时间内生成2molSO₃ 时，即消耗了1molO₂ ，此时又生成1molO₂ ，即意味着正反应速率等于逆反应速率，所以D选项也正确。

　答案：C、D

　[例3]可逆反应： 3A(g)3B(?)+C(?)(正反应为吸热反应)，随着温度升高，气体平均相对分子质量有变小趋势， 则下列判断正确的是

　A．B和C可能都是固体

　B．B和C一定都是气体

　C．若C为固体，则B一定是气体

　D．B和C可能都是气体

　解析： 本题考查平衡移动知识，重在考查分析问题、解决问题的能力．根据题干条件可对各选项逐一分析。选项A中，如果B和C都是固体，则无论平衡怎样移动，反应混合物中的气体只有A一种，A的相对分子质量不随温度升高而改变，所以气体的平均相对分子质量不随温度升高而改变，因此选项A不符合题意．选项C中，当C为固体，B为气体时，该反应为反应前后气体分子数不变的反应．由于温度升高平衡向吸热反应方向移动。有更多的固体C生成，使反应混合物中气体的总质量相应减小，而气体分子数保持不变，所以气体平均相对分子质量也相应变小 ，若C为固体，而B为非气体时，则反应混合物中的气体只有A，这与选项A情况相同，不符合题意要求，所以只有当C为固体时，B必为气体，才符合回意要求，选项C符合题意．既然选项C符合题意要求，则选项B一定不符合或意要求。选项D中，如果B和C都是气体，则正反应方向是气体分子数增大的方向，由于升温平衡向正反应方向移动，反应混合物中气体分子数相应增大，而反应混合物的总质量保持不变(反应物和生成物全部为气体)。所以气体平均相对分子质量变小．选项D符合题意．

　　答案：C、D。

[例4]密闭容器中一定量的混合气体发生反应： ，平衡时，测得A的浓度为0.50mol·L^－1，在温度不变时，把容器容积扩大到原来的2倍，使其重新达到平衡，A的浓度为0.30mol·L^-1，有关叙述不正确的是(　　 )。

　A．平衡一定向右移动

　B．B的转化率降低

　C．

　D．C的体积分数降低

　解析：本题可采用虚拟的方法来解答。假设把容器扩大到原来的2倍时．平衡不移动(虚拟)，则这时A的浓度由　 0.50 mol·L^－l变为0. 25 mol·L^－l，而事实上A的浓度为 0.30 mol·L^－1，然后再由虚拟状态回到事实．A的浓度由0.25 mol·L^－1变为0.30 mol·L^－1，平衡向生成A的方向即本反应逆反应方向移动。与备选选项对照，只有A项不正确。

　答案：A

如果改变影响平衡的一个条件(如浓度、压强或温度)，平衡就向着能够减弱这种改变的方向移动。

4．“变”--任何化学平衡状态均是暂时的、相对的、有条件的(与浓度、压强、温度等有关)。而与达平衡的过程无关(化学平衡状态既可从正反应方向开始达平衡，也可以从逆反应方向开始达平衡)。

3．“动”--指定化学反应已达化学平衡状态时，反应并没有停止，实际上正反应与逆反应始终在进行，且正反应速率等于逆反应速率，所以化学平衡状态是动态平衡状态。

2．“定”--当一定条件下可逆反应一旦达平衡(可逆反应进行到最大的程度)状态时，在平衡体系的混合物中，各组成成分的含量(即反应物与生成物的物质的量，物质的量浓度，质量分数，体积分数等)保持一定而不变(即不随时间的改变而改变)。这是判断体系是否处于化学平衡状态的重要依据。

1．“等”--处于密闭体系的可逆反应，化学平衡状态建立的条件是正反应速率和逆反应速率相等。即v(正)=v(逆)≠0。这是可逆反应达到平衡状态的重要标志。

2.(2009·山东文综)改革开放后，环渤海地区的经济进入快速发展阶段。区域可持续发展的途径之一是合理利用资源、提高资源利用率。下表反映的是2007年环渤海地区及全国的重工业比重和能源、水资源利用状况。读表回答(1)、(2)题。

(1)与全国相比，环渤海地区在资源利用方面有什么特点？形成的原因是什么？

(2)本地区资源利用存在的问题可能产生的不良后果有哪些？

[解析]以热点区域--环渤海地区入手，主要考查环渤海地区资源、能源利用的特点、成因以及带来的不良影响。准确理解注释内容和分析表中数据是解答本题的关键。第(1)题，通过对比分析表格中环渤海地区与全国的各要素数值可发现，环渤海地区重工业占工业总产值比例、单位工业增加值能耗较全国高；单位工业增加值水耗、工业新水用量占工业用水总量比例较全国低。由此可总结出环渤海地区在资源利用方面的特点及形成原因。第(2)题，环渤海地区资源利用存在能耗高的问题，因而其产生的不良后果要围绕能耗高来回答。