目的要求

复习掌握动量守恒定律的应用

知识要点

1.碰撞：两个物体在极短时间内发生相互作用，这种情况称为碰撞。由于作用时间极短，一般都满足内力远大于外力，所以可以认为系统的动量守恒。碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种。

　　 仔细分析一下碰撞的全过程：设光滑水平面上，质量为m₁的物体A以速度v₁向质量为m­₂的静止物体B运动，B的左端连有轻弹簧。在Ⅰ位置A、B刚好接触，弹簧开始被压缩，A开始减速，B开始加速；到Ⅱ位置A、B速度刚好相等(设为v)，弹簧被压缩到最短；再往后A、B开始远离，弹簧开始恢复原长，到Ⅲ位置弹簧刚好为原长，A、B分开，这时A、B的速度分别为。全过程系统动量一定是守恒的；而机械能是否守恒就要看弹簧的弹性如何了。

⑴弹簧是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为弹性势能，Ⅱ状态系统动能最小而弹性势能最大；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少全部转化为动能；因此Ⅰ、Ⅲ状态系统动能相等。这种碰撞叫做弹性碰撞。由动量守恒和能量守恒可以证明A、B的最终速度分别为：。(这个结论最好背下来，以后经常要用到。)

⑵弹簧不是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少，一部分转化为弹性势能，一部分转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，弹性势能仍最大，但比⑴小；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少，部分转化为动能，部分转化为内能；因为全过程系统动能有损失(一部分动能转化为内能)。这种碰撞叫非弹性碰撞。　　　　

　⑶弹簧完全没有弹性。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，但没有弹性势能；由于没有弹性，A、B不再分开，而是共同运动，不再有Ⅱ→Ⅲ过程。这种碰撞叫完全非弹性碰撞。可以证明，A、B最终的共同速度为。在完全非弹性碰撞过程中，系统的动能损失最大，为：

。

(这个结论最好背下来，以后经常要用到。)

4.动量守恒定律的重要意义

从现代物理学的理论高度来认识，动量守恒定律是物理学中最基本的普适原理之一。(另一个最基本的普适原理就是能量守恒定律。)从科学实践的角度来看，迄今为止，人们尚未发现动量守恒定律有任何例外。相反，每当在实验中观察到似乎是违反动量守恒定律的现象时，物理学家们就会提出新的假设来补救，最后总是以有新的发现而胜利告终。例如静止的原子核发生β衰变放出电子时，按动量守恒，反冲核应该沿电子的反方向运动。但云室照片显示，两者径迹不在一条直线上。为解释这一反常现象，1930年泡利提出了中微子假说。由于中微子既不带电又几乎无质量，在实验中极难测量，直到1956年人们才首次证明了中微子的存在。(2000年高考综合题23 ②就是根据这一历史事实设计的)。又如人们发现，两个运动着的带电粒子在电磁相互作用下动量似乎也是不守恒的。这时物理学家把动量的概念推广到了电磁场，把电磁场的动量也考虑进去，总动量就又守恒了。

例题分析

例1：质量为m=0.10kg的小钢球以Vo=10m/s的水平速度抛出，下落h=5.0m时撞击一钢板，撞后速度恰好反向，则钢板与水平地面的夹角θ=_______.刚要撞击时小球的动量的大小为________(g=10m/s2)

解：小钢球作平抛运动，撞击钢板时的竖直分速度Vy==10m/s.而水平方向作的是匀速运动，所以Vx=Vo=10m/s.而tgnθ=Vo/Vy=1，所以θ=450，另外钢球的末速度为：Vt=m/s，于是刚要撞击时小球的动量大小等于：

　P=mVt=kgm/s

例2.质量为m的钢球自高处下落，以速度V1碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地的速率为V2，在碰撞过程中，地面对钢球的冲量的方向和大小为( ) 　　　　 A.向下，m(V1-V2) 　B.向下，m(V1+V2) 　　　　 C.向上，m(V1-V2) 　D.向上，m(V1+V2)

分析：将钢球作研究对象，钢球在碰地过程中的受力如图中的动画所示，图中mg为钢球受到的重力、N是受到地面对它的弹力，由于弹力和重力对钢球的冲量使钢球的动量发生改变.图中钢球的碰地速度V1，弹起速度为V2，我们假设垂直地面向上为正，对钢球运用动理定理得：

Nt-mgt=mV2-(-mV1)=mV2+mV1，

由于碰撞时间极短，t趋近于零，故mgt也趋于零可忽略不计，于是Nt=m(V2+V1),即弹力的冲量方向向上，大小等于m(V1+V2),故答案选D

例题3: 质量为M的小船以速度Vo行驶，船上有两个质量皆为m的小孩a和b，分别静止站在船头和船尾.现小孩a沿水平方向以速率V(相对于静水面)向前跃入水中，然后小孩b沿水平方向以同一速率(相对于静水面)向后跃入水中，求小孩b跃出后小船的速度。

本题是由三个物体组成的物体系，和两个物体过程的动量守恒定律的应用问题，选择合理的研究对象和研究过程可使解题方便简捷.

解答：选小孩a、b和船为一系统，在两小孩先后跳入水的整个过程中可忽略水的阻力.系统水平方向上动量守恒.设小孩b跃出后船向前行驶的速度为Vx，选Vx方向为正方向根据动量守恒定律有； 　　　　 (M+2m)Vo=MVx+mV-mV　　 整理得：Vx=(1+2m/M)Vo

例题4:一列火车在水平直轨道上做匀速运动，总质量为M，速度为V，某时刻火车后部有质量为m的一节车厢脱钩，司机并未发觉，又继续行驶了一段距离，这期间车牵引力保持不变，并且火车各部所受的阻力跟运动速度无关，当司机发现时，后面脱钩的车厢的速度已减为V/3，求此时刻火车车厢前面部分的速度多大？ 　　 解答：火车原在铁轨上匀速运动，故所受合外力等于零，一节车厢脱钩后，牵引力和阻力均不变，火车系统合外力等于零，动量守恒.当脱钩车厢速度为V/3时，设前面部分的速度为V'，根据动量守恒定律有：MV=(M-m)V'+mV/3 解得：

3.动量守恒定律的表达形式

　　 除了，即p₁+p₂=p₁^/+p₂^/外，还有：

　 　　Δp₁+Δp₂=0，Δp₁= -Δp₂ 和

2.动量守恒定律成立的条件

⑴系统不受外力或者所受外力之和为零；

⑵系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略不计；

⑶系统在某一个方向上所受的合外力为零，则该方向上动量守恒。

⑷全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。

目的要求

复习动量守恒定律及其应用。

知识要点

1.动量守恒定律：一个系统不受外力或者受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。

　　　　 即：

3.利用动量定理进行定量计算21世纪教育网

利用动量定理解题，必须按照以下几个步骤进行：21世纪教育网

⑴明确研究对象和研究过程。研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的质点组。质点组内各物体可以是保持相对静止的，也可以是相对运动的。研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段。21世纪教育网

⑵进行受力分析。只分析研究对象以外的物体施给研究对象的力。所有外力之和为合外力。研究对象内部的相互作用力(内力)会改变系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力。如果在所选定的研究过程中的不同阶段中物体的受力情况不同，就要分别计算它们的冲量，然后求它们的矢量和。21世纪教育网

⑶规定正方向。由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的情况下，列式前要先规定一个正方向，和这个方向一致的矢量为正，反之为负。21世纪教育网

⑷写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量(或各外力在各个阶段的冲量的矢量和)。21世纪教育网

⑸根据动量定理列式求解。21世纪教育网

例题分析

例1：以初速度v₀平抛出一个质量为m的物体，抛出后t秒内物体的动量变化是多少？

解：因为合外力就是重力，所以Δp=Ft=mgt

　　 有了动量定理，不论是求合力的冲量还是求物体动量的变化，都有了两种可供选择的等价的方法。本题用冲量求解，比先求末动量，再求初、末动量的矢量差要方便得多。当合外力为恒力时往往用Ft来求较为简单；当合外力为变力时，在高中阶段只能用Δp来求。

例2：鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在地板上，鸡蛋被打破；第二次落在泡沫塑料垫上，没有被打破。这是为什么？

解：两次碰地(或碰塑料垫)瞬间鸡蛋的初速度相同，而末速度都是零也相同，所以两次碰撞过程鸡蛋的动量变化相同。根据Ft=Δp，第一次与地板作用时的接触时间短，作用力大，所以鸡蛋被打破；第二次与泡沫塑料垫作用的接触时间长，作用力小，所以鸡蛋没有被打破。(再说得准确一点应该指出：鸡蛋被打破是因为受到的压强大。鸡蛋和地板相互作用时的接触面积小而作用力大，所以压强大，鸡蛋被打破；鸡蛋和泡沫塑料垫相互作用时的接触面积大而作用力小，所以压强小，鸡蛋未被打破。)

例3：某同学要把压在木块下的纸抽出来。第一次他将纸迅速抽出，木块几乎不动；第二次他将纸较慢地抽出，木块反而被拉动了。这是为什么？

解：物体动量的改变不是取决于合力的大小，而是取决于合力冲量的大小。在水平方向上，第一次木块受到的是滑动摩擦力，一般来说大于第二次受到的静摩擦力；但第一次力的作用时间极短，摩擦力的冲量小，因此木块没有明显的动量变化，几乎不动。第二次摩擦力虽然较小，但它的作用时间长，摩擦力的冲量反而大，因此木块会有明显的动量变化。

例4：质量为m的小球，从沙坑上方自由下落，经过时间t₁到达沙坑表面，又经过时间t₂停在沙坑里。求：⑴沙对小球的平均阻力F；⑵小球在沙坑里下落过程所受的总冲量I。

解：设刚开始下落的位置为A，刚好接触沙的位置为B，在沙中到达的最低点为C。

⑴在下落的全过程对小球用动量定理：重力作用时间为t₁+t₂，而阻力作用时间仅为t₂，以竖直向下为正方向，有：

　　　 　mg(t₁+t₂)-Ft₂=0,　 解得：

　 ⑵仍然在下落的全过程对小球用动量定理：在t₁时间内只有重力的冲量，在t₂时间内只有总冲量(已包括重力冲量在内)，以竖直向下为正方向，有：

　 　　mgt₁-I=0,∴I=mgt₁

这种题本身并不难，也不复杂，但一定要认真审题。要根据题意所要求的冲量将各个外力灵活组合。若本题目给出小球自由下落的高度，可先把高度转换成时间后再用动量定理。当t₁>> t₂时，F>>mg。

例5：质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进，当速度为v₀时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？

解：以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为，该过程经历时间为v₀/μg，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得：

　　 这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是。

例6：质量为m=1kg的小球由高h₁=0.45m处自由下落，落到水平地面后，反跳的最大高度为h₂=0.2m，从小球下落到反跳到最高点经历的时间为Δt=0.6s，取g=10m/s²。求：小球撞击地面过程中，球对地面的平均压力的大小F。

解：以小球为研究对象，从开始下落到反跳到最高点的全过程动量变化为零，根据下降、上升高度可知其中下落、上升分别用时t₁=0.3s和t₂=0.2s，因此与地面作用的时间必为t₃=0.1s。由动量定理得：mgΔt-Ft₃=0 ，F=60N

2.利用动量定理定性地解释一些现象21世纪教育网

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目的要求21世纪教育网

复习动量定理及其应用21世纪教育网

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知识要点21世纪教育网

1.动量定理：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。既I=Δp21世纪教育网

⑴动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。这里所说的冲量必须是物体所受的合外力的冲量(或者说是物体所受各外力冲量的矢量和)。21世纪教育网

⑵动量定理给出了冲量(过程量)和动量变化(状态量)间的互求关系。21世纪教育网

⑶现代物理学把力定义为物体动量的变化率：(牛顿第二定律的动量形式)。21世纪教育网

⑷动量定理的表达式是矢量式。在一维的情况下，各个矢量必须以同一个规定的方向为正。21世纪教育网

2.冲量：按定义，力和力的作用时间的乘积叫做冲量：I=Ft21世纪教育网

⑴冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应。21世纪教育网

⑵冲量是矢量，它的方向由力的方向决定(不能说和力的方向相同)。如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。21世纪教育网

⑶高中阶段只要求会用I=Ft计算恒力的冲量。对于变力的冲量，高中阶段只能利用动量定理通过物体的动量变化来求。21世纪教育网

⑷要注意的是：冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。21世纪教育网

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例题分析21世纪教育网

例1：质量为m的小球由高为H的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？21世纪教育网

解：力的作用时间都是，力的大小依次是mg、mgcosα和mgsinα，所以它们的冲量依次是：21世纪教育网

　21世纪教育网

特别要注意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。21世纪教育网

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例2：一个质量是0.2kg的钢球，以2m/s的速度水平向右运动，碰到一块竖硬的大理石后被弹回，沿着同一直线以2m/s的速度水平向左运动，碰撞前后钢球的动量有没有变化？变化了多少？21世纪教育网

解：取水平向右的方向为正方向，碰撞前钢球的速度v=2m/s，碰撞前钢球的动量为P=mv=0.2×2kg·m/s=0.4kg·m/s。碰撞后钢球的速度为v′=0.2m/s，碰撞后钢球的动量为21世纪教育网

p′=m v′=-0.2×2kg·m/s=-0.4kg·m/s。21世纪教育网

△p= p′-P=-0.4kg·m/s-0.4kg·m/s=-0.8kg·m/s，且动量变化的方向向左。21世纪教育网

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例3：一个质量是0.2kg的钢球，以2m/s的速度斜射到坚硬的大理石板上，入射的角度是45º，碰撞后被斜着弹出，弹出的角度也是45º，速度大小仍为2m/s，用作图法求出钢球动量变化大小和方向？21世纪教育网

解：碰撞前后钢球不在同一直线运动，据平行四边形定则，以p′和P为邻边做平行四边形，则△p就等于对解线的长度，对角线的指向就表示的方向：21世纪教育网 △p 　 p′ 　 -p 　 45º 　 45º 　 ∴21世纪教育网 方向竖直向上。21世纪教育网

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动量是矢量，求其变化量可以用平行四边形定则：在一维情况下可首先规定一个正方向，这时求动量的变化就可以简化为代数运算了。21世纪教育网

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复习动量和动量定理、动量守恒定律。21世纪教育网

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知识要点21世纪教育网

1.动量：按定义，物体的质量和速度的乘积叫做动量：p=mv21世纪教育网

⑴动量是描述物体运动状态的一个状态量，它与时刻相对应。21世纪教育网

⑵动量是矢量，它的方向和速度的方向相同。21世纪教育网