3、例题讲解

(P_5O例题1)：求下列各式的值

2. 教学根式的概念及运算：

① 复习实例蕴含的概念：,就叫4的平方根；，3就叫27的立方根.

探究：,就叫做的？次方根, 依此类推,若,那么叫做的次方根.

② 定义n次方根：一般地，若,那么叫做的次方根.( 　th　 root ),其中,

简记：.　　 例如：，则

③ 讨论：当n为奇数时, n次方根情况如何？, 例如: ,,　

记：

当n为偶数时，正数的n次方根情况？ 例如: ,的4次方根就是, 记：

强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即.

④ 练习：,则的4次方根为　　 ； , 则的3次方根为　　　 .

⑤ 定义根式：像的式子就叫做根式(radical), 这里n叫做根指数(radical exponent),　 a叫做被开方数(radicand).

⑥ 计算、、 → 探究： 、的意义及结果？ (特殊到一般)

结论：. 当是奇数时，；当是偶数时，

1. 教学指数函数模型应用背景：

①　　 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.

实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？

实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次(8次)

计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，问对折后的面积与厚度？

② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP(国内生产总值)年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP为2000年的多少倍？

　 书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半(半衰期)，则死亡t年后体内碳14的含量P与死亡时碳14的关系为. 探究该式意义？

③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.

2、回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.　 → 记法：

1、提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？(、)

由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。

例1、(2000年全国高考题)椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。

解：F₁(－,0)F₂(,0),设P(3cos,2sin)

为钝角

∴ 　

　　 =9cos²－5+4sin²=5 cos²－1<0

　　 解得：　 ∴点P横坐标的取值范围是()

点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。

例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)²+(y-4)²=4上的一动点，求的最大值和最小值。

分析：因为O为AB的中点，所以故可利用向量把问题转化为求向量的最值。

解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：

又由中点公式得

所以

　　　　　　 =

　　　　　　 =

　　　　　　 =

又因为 点P在圆(x-3)²+(y-4)²=4上,　　　　　　　　　　　　　 　　　　

所以　 且　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以

即　 故

所以的最大值为100，最小值为20。

点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。

例3、(2003年天津高考题)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的(　 )

(A)外心　　　 (B)内心　　 (C)重心　　 (D)垂心

分析：因为同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知是与∠ABC的角平分线(射线)同向的一个向量，又，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过△ABC的内心。

反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；

(1)　　　 由顶点坐标(含线段端点)或直线方程求得角两边的方向向量；

(2)　　　 求出角平分线的方向向量

(3)　　　 由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P()，其方向向量为，其方程为}

例4、(2003年天津)已知常数，向量，经过原点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点，其中．试问：是否存在两个定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

(本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.)

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.

∵，　 ∴=(λ，a)，=(1，－2λa).

因此，直线OP和AP的方程分别为　 　和 .

消去参数λ，得点的坐标满足方程.

整理得　 ……①　　　 因为所以得：

(i)当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

　 (ii)当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；

　 (iii)当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.

点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：

在△OAP中，O(0，0)、A(0，a)为两个定点，另两边OP与AP的斜率分别是，求P的轨迹。

而课本上有一道习题(数学第二册(上)第96页练习题4)：

三角形ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6，0)、(6，0)，边AC、BC所在直线的斜率之积等于，求顶点C的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。

例5．(2004年天津卷理22)椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F(c，0)()的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

　 (1)求椭圆的方程及离心率；

(2)若，求直线PQ的方程；

(3)设()，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.

分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.

(1)解：由题意，可设椭圆的方程为.

　 由已知得解得

所以椭圆的方程为，离心率.

(2)解：由(1)可得A(3，0).

设直线PQ的方程为.由方程组

　　　 得

依题意，得.

设，则，　 ① .　　 ②

由直线PQ的方程得.于是

.　　 ③

∵，∴.　　 ④

由①②③④得，从而.

所以直线PQ的方程为或

(2)证明：.由已知得方程组

　 注意，解得

因，故

.

而，所以.

平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。

4.(天津卷20)(本小题满分12分) 已知函数在处取得极值。

(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；

(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。

(江苏卷10)函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是　 (　 )

(A)1，-1　　　　 (B)1，-17　　　 (C)3，-17　　　 (D)9，-19

(浙江卷11)设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象

如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是

(A)　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　　　 (D)

(浙江卷20)设曲线y=e^-x(x≥0)在点M(t,e^-t}处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t). (1)求切线l的方程；(2)求S(t)的最大值。

3.(天津卷9)函数)为增函数的区间是

　 (A)　　 (B)　　 (C)　　 (D)