1.比较(a+3)(a－5)与(a+2)(a-4)的大小.

[例1] 已知a>b(ab),比较与的大小.

错解： a>b(ab)，<.

错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正确的结论是：当两数同号时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.

正解：，又 a>b(ab)，

(1)当a、b同号时，即a>b>0或b<a<0时，则ab>0,b－a<0, ,<.

(2)当a、b异号时，则a>0,b<0, >0,<0>.

[例2] 当a、b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是(　)

A.　　B.　　C.　　D.

错解：所以选B.

错因是由于在、、中很容易确定最小，所以易误选B.而事实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可遗漏与前三者的大小比较.

正解：由均值不等式及a²+b²2ab,可知选项A、B、C中，最小，而＝，由当ab时，a+b>2,两端同乘以，可得(a+b)·＞2ab, ＜，因此选D.

[例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )²+(b+ )²的最小值.

错解: (a+)²+(b+)²=a²+b²+++4≥2ab++4≥4+4=8,

∴(a+)²+(b+)²的最小值是8.

错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a²+b²≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.

正解：原式= a²+b²+++4=( a²+b²)+(+)+4=[(a+b)²－2ab]+[(+)²－]+4

　　　　　　 = (1－2ab)(1+)+4，

由ab≤()²= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，

∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，

∴(a + )² + (b + )²的最小值是.

[例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较的大小.

解法一：

　　　 ∵0 < 1 - x² < 1,　 　　∴

　　　 ∴

解法二：

　　　 ∵0 < 1 - x² < 1,　 1 + x > 1,　 ∴

　　　 ∴　 ∴

解法三：∵0 < x < 1,　 ∴0 < 1 - x < 1,　 1 < 1 + x < 2,

　　　 ∴

　　　 ∴左 - 右 =

　　　 ∵0 < 1 - x² < 1, 且0 < a < 1　 ∴

　　　 ∴

　 [例5]已知x² = a² + b²，y² = c² + d²，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd

证：证法一(分析法)∵a, b, c, d, x, y都是正数

　　　　　　　 ∴要证：xy≥ac + bd

　　　　　　　　 　只需证：(xy)²≥(ac + bd)²

　　 　　　　　　　即：(a² + b²)(c² + d²)≥a²c² + b²d² + 2abcd

　　　　　　　　 展开得：a²c² + b²d² + a²d² + b²c²≥a²c² + b²d² + 2abcd

　　　　　　　　 即：a²d² + b²c²≥2abcd　　 由基本不等式，显然成立

　　　　　　　 ∴xy≥ac + bd

证法二(综合法)xy =

　　　　　　　　 ≥

证法三(三角代换法)

　　　 ∵x² = a² + b²，∴不妨设a = xsina,　 b = xcosa

y² = c² + d² c = ysinb,　 d = ycosb

　　　　　　 ∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)≤xy

[例6] 已知x > 0，求证：

证：构造函数 则， 设2≤a<b　

由

显然　 ∵2≤a<b　 ∴a - b > 0,　 ab - 1 > 0,　 ab > 0　 ∴上式 > 0

∴f (x)在上单调递增，∴左边

5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用.　

4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾.

3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语.

2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.

1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向.

5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元.

4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.

3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.