3、最后对㈠㈡㈢式消I₁ 、I₂ ，解v₁就方便多了。结果为：

v₁ =

(学生活动：训练解方程的条理和耐心)思考：v₂的方位角β等于多少？

解：解“二级式”的⑴⑵⑶即可。⑴代入⑵消I₁ ，得I₂的表达式，将I₂的表达式代入⑶就行了。

答：β= arc tg()。

2、解⑶⑷式消掉β，使四个二级式变成三个三级式：

I₁ = m₁ v₁　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ㈠

I₂cosα－I₁ = m₂ v₁　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ㈡

I = m₃ v₁ cosα+ I₂㈢

物理情形：三个质点A、B和C ，质量分别为m₁ 、m₂和m₃ ，用拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连，静止在水平面上，如图2所示，AB和BC之间的夹角为(π－α)。现对质点C施加以冲量I ，方向沿BC ，试求质点A开始运动的速度。

模型分析：首先，注意“开始运动”的理解，它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生，但是绳子的方位尚未发生变化。其二，对三个质点均可用动量定理，但是，B质点受冲量不在一条直线上，故最为复杂，可采用分方向的形式表达。其三，由于两段绳子不可伸长，故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系。

下面具体看解题过程--

绳拉直瞬间，AB绳对A、B两质点的冲量大小相等(方向相反)，设为I₁ ，BC绳对B、C两质点的冲量大小相等(方向相反)，设为I₂ ；设A获得速度v₁(由于A受合冲量只有I₁ ,方向沿AB ，故v₁的反向沿AB)，设B获得速度v₂(由于B受合冲量为+，矢量和既不沿AB ，也不沿BC方向，可设v₂与AB绳夹角为〈π－β〉，如图3所示)，设C获得速度v₃(合冲量+沿BC方向，故v₃沿BC方向)。

对A用动量定理，有：

I₁ = m₁ v₁　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

B的动量定理是一个矢量方程：+= m₂ ，可化为两个分方向的标量式，即：

I₂cosα－I₁ = m₂ v₂cosβ　　　　　　　　　 ②

I₂sinα= m₂ v₂sinβ　　　　　　　　　　　 ③

质点C的动量定理方程为：

I － I₂ = m₃ v₃　　　　　　　　　　　　　 ④

AB绳不可伸长，必有v₁ = v₂cosβ　　　　　 ⑤

BC绳不可伸长，必有v₂cos(β－α) = v₃　　 ⑥

六个方程解六个未知量(I₁ 、I₂ 、v₁ 、v₂ 、v₃ 、β)是可能的，但繁复程度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤--

1、先用⑤⑥式消掉v₂ 、v₃ ，使六个一级式变成四个二级式：

I₁ = m₁ v₁　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　⑴

I₂cosα－I₁ = m₂ v₁　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑵

I₂sinα= m₂ v₁ tgβ　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑶

I － I₂ = m₃ v₁(cosα+ sinαtgβ)　　　　　　　　　 ⑷

物理情形：太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗，每颗的平均质量为m ，垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率v飞行，垂直速度方向的横截面积为S ，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F 。

模型分析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续，如何正确选取研究对象，是本题的前提。建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异。物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾。

先用动量定理推论解题。

取一段时间Δt ，在这段时间内，飞船要穿过体积ΔV = S·vΔt的空间，遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP ，其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力。

　= 　= 　= 　= 　= nmSv²

如果用动能定理，能不能解题呢？

同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进x = vΔt的位移，引擎推力须做功W = x ，它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量，而飞船的ΔE_k为零，所以：

W = ΔMv²

即：vΔt = (n m S·vΔt)v²

得到： = nmSv²

两个结果不一致，不可能都是正确的。分析动能定理的解题，我们不能发现，垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的，需要消耗大量的机械能，因此，认为“引擎做功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的。但在动量定理的解题中，由于I = t ，由此推出的 = 必然是飞船对垃圾的平均推力，再对飞船用平衡条件，的大小就是引擎推力大小了。这个解没有毛病可挑，是正确的。

(学生活动)思考：如图1所示，全长L、总质量为M的柔软绳子，盘在一根光滑的直杆上，现用手握住绳子的一端，以恒定的水平速度v将绳子拉直。忽略地面阻力，试求手的拉力F 。

解：解题思路和上面完全相同。

答：

2、物体之间有相对滑动时，机械能损失的重要定势：－ΔE = ΔE_内 = f_滑·S_相 ，其中S_相指相对路程。

第二讲 重要模型与专题

1、当物体之间的相互作用时间不是很短，作用不是很强烈，但系统动量仍然守恒时，碰撞的部分规律仍然适用，但已不符合“碰撞的基本特征”(如：位置可能超越、机械能可能膨胀)。此时，碰撞中“不合题意”的解可能已经有意义，如弹性碰撞中v₁ = v₁₀ ，v₂ = v₂₀的解。

3、恢复系数：碰后分离速度(v₂ － v₁)与碰前接近速度(v₁₀ － v₂₀)的比值，即：

e = 　。根据“碰撞的基本特征”，0 ≤ e ≤ 1 。

当e = 0 ，碰撞为完全非弹性；

当0 ＜ e ＜ 1 ，碰撞为非弹性；

当e = 1 ，碰撞为弹性。

2、三种典型的碰撞

a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失。满足--

m₁v₁₀ + m₂v₂₀ = m₁v₁ + m₂v₂

　m₁ + 　m₂ = 　m₁ + 　m₂

解以上两式(注意技巧和“不合题意”解的舍弃)可得：

v₁ = ，　 v₂ =

对于结果的讨论：

①当m₁ = m₂ 时，v₁ = v₂₀ ，v₂ = v₁₀ ，称为“交换速度”；

②当m₁ ＜＜ m₂ ，且v₂₀ = 0时，v₁ ≈ －v₁₀ ，v₂ ≈ 0 ，小物碰大物，原速率返回；

③当m₁ ＞＞ m₂ ，且v₂₀ = 0时，v₁ ≈ v₁₀ ，v₂ ≈ 2v₁₀ ，

b、非(完全)弹性碰撞：机械能有损失(机械能损失的内部机制简介)，只满足动量守恒定律

c、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一个整体，故有

v₁ = v₂ =

1、碰撞的概念、分类(按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类)

碰撞的基本特征：a、动量守恒；b、位置不超越；c、动能不膨胀。

3、机械能守恒定律

a、定律内容

b、条件与拓展条件(注意系统划分)

c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。