4．求导数的方法
(1) 八个基本求导公式
＝ ； 
＝ ；(n∈Q)
＝ ，
＝
＝
，
＝
＝ ， 
＝
(2) 导数的四则运算
＝
＝
＝
，
＝
(3) 复合函数的导数
设
在点x处可导，
在点处可导，则复合函数
在点x处可导， 且
＝
，即
.
|
例1．求函数y=
在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
解 ∵Δy=
变式训练1. 求y=
在x=x0处的导数.
解 
例2. 求下列各函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
解 (1)∵
∴y′
(2)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.
方法二 
=
=
(x+3)+(x+1)(x+2)
=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.
(3)∵y=
∴
(4)
，
∴
变式训练2：求y=tanx的导数.
解 y′
例3. 已知曲线y=
(1)求曲线在x=2处的切线方程；
(2)求曲线过点(2，4)的切线方程.
解 (1)∵y′=x2,∴在点P(2，4)处的切线的斜率k=|x=2=4.
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)设曲线y=
与过点P(2，4)的切线相切于点
，
则切线的斜率k=|
=
.
∴切线方程为
即
∵点P(2，4)在切线上，∴4=
即
∴
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= .
答案 
2或
例4. 设函数
(a,b∈Z)，曲线
在点
处的切线方程为y=3.
(1)求
的解析式；
(2)证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
(1)解 
，
于是
解得
或
因为a,b
Z，故
(2)证明 在曲线上任取一点
．
由
知，过此点的切线方程为
．
令x=1，得
，切线与直线x=1交点为
．
令y=x，得
，切线与直线y=x的交点为
．
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)．
从而所围三角形的面积为
．
所以，所围三角形的面积为定值2.
变式训练4：偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0，1)，且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f(x)的解析式.
解 ∵f(x)的图象过点P(0，1)，∴e=1. ①
又∵f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x).
故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
∴b=0，d=0. ②
∴f(x)=ax4+cx2+1.
∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为(1，-1).
∴a+c+1=-1. ③
∵
=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1. ④
由③④得a=
，c=
. ∴函数y=f(x)的解析式为
|
处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点
处的
.
的
，记作
或
，函数
时的函数值
，就是
0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ
的比
的
，即3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．
|
|
导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大(小)值，以及最大(小)值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.
第1课时 变化率与导数、导数的计算
|
熟记八个基本导数公式(c,
(m为有理数)，
的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.
的图象上任意一点，则容易求得P点关于直线x=1的对称点为
的图象上，
.………………2分
的一个极值点，
………………4分
…………6分
……10分
时恒成立. 
时的最小值，
……………………………………………………14分
，依题意
，
所求椭圆方程为
---6分
，
．(1)当
轴时，
． -------------------8分
与
轴不垂直时，设直线
．由已知
，---------9分
．---------10分
，
，
．
．
，即
时等号成立．当
时，
．
最大时，
面积取最大值
．---------------12分20．解：(1)从50名教师随机选出2名的方法数为
选出2人使用版本相同的方法数为
故2人使用版本相同的概率为：
…………………………6分
(2)∵
，
 |
0 |
1 |
2 |
|
P |
 |
 |
 |
∴的分布列为……………10分
∴
……………………12分