4．在样本的频率分布直方图中，一共有m(m≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m－1个小矩形面积和的，且样本容量为100，则第3组的频数是

(　)

A．0.2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．25

C．20　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．以上都不正确

解析：第3组的频率是，样本容量为100，故第3组的频数是100×＝20.选C.

答案：C

3．将容量为100的样本数据，按照从小到大的顺序分为8个组，如下表：

已知第1小组的频数是第3和第5小组的频数之和，第3小组的频率是第5小组的频率的三倍，则第3小组的频率为

(　)

A．0.10　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．0.05

C．0.15　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．0.20

解析：根据题意，得

解得，所以第3组的频率为＝0.15.

答案：C

2．采用简单随机抽样从个体数为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体a前两次未被抽到，第三次恰好被抽到的概率为

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：解法1：对于从6个个体中抽取1个，每个个体被抽到的概率均为.

解法2：P＝＝.

答案：A

1．某地区有300家商店，其中大型商店30家，中型商店75家，小型商店175家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽到的中型商店数是

(　)

A．2　　　　　　　　　　　　　 B．3

C．5　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．13

解析：根据分层抽样按比例抽取，抽取的比例为＝，抽取的中型商店数为75×＝5.

答案：C

22．(14分)(2010·内蒙古赤峰统考)如图4，在平面直角坐标系中，N为圆A：(x+1)²+y²＝16上的一点，点

B(1,0)，点M是BN中点，点P在线段AN上，且·＝0.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)试判断以PB为直径的圆与圆x²+y²＝4的位置关系，并说明理由．

解：(1)由点M是BN中点，又·＝0，可知PM垂直平分BN.

所以|PN|＝|PB|，又|PA|+|PN|＝|AN|，

所以|PA|+|PB|＝4，|AB|＝2.

由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．

设椭圆方程为+＝1(a>b>0)，

由2a＝4,2c＝2，可得a²＝4，b²＝3.

可知动点P的轨迹方程为+＝1.

(2)设点P(x₀，y₀)，PB的中点为Q，则Q(，)，

|PB|＝＝

＝＝2－x₀，

即以PB为直径的圆的圆心为Q(，)，

半径为r₁＝1－x₀，

又圆x²+y²＝4的圆心为O(0,0)，半径r₂＝2，

又|OQ|＝

＝

＝＝1+x₀，

故|OQ|＝r₂－r₁，即两圆内切．

21．(12分)已知圆C的方程为x²+y²＝4.

(1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程；

(2)圆C上一动点M(x₀，y₀)，＝(0，y₀)，若向量＝+，求动点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

解：(1)①若直线l垂直于x轴，则此直线为x＝1，l与圆的两个交点坐标分别为(1，)和(1，－)，这两点间的距离为2，符合题意．

②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y－2＝k(x－1)

即kx－y－k+2＝0

设圆心到此直线的距离为d

∵2＝2∴d＝1

∴1＝解得k＝

故所求直线方程为3x－4y+5＝0

综上所述所求直线方程是x＝1或3x－4y+5＝0.

(2)设Q点坐标为(x，y)

∵M点的坐标是(x₀，y₀)，＝(x₀，y₀)，＝(0，y₀)，

＝+

∴(x，y)＝(x_0,2y₀)∴

∵x+y＝4∴x²+()²＝4.即+＝1，

∴Q点的轨迹方程是+＝1.

Q点轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆．

图4

20．(12分)圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在P点切线的斜率为1，试求圆C的方程．

解：设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F＝0.

将P、Q、R的坐标代入，得

∴圆的方程为x²+y²－(k+2)x－(2k+1)y+2k＝0，圆心为(，)．

又∵k_CP＝－1，∴k＝－3.

∴圆的方程为x²+y²+x+5y－6＝0.

19．(12分)已知圆C的圆心在直线l₁：x－y－1＝0上，与直线l₂：4x+3y+14＝0相切，且截得直线l₃：3x+4y+10＝0所得弦长为6，求圆C的方程．

解：设圆心C(a，b)，半径为r.

则a－b－1＝0，r＝，

＝.

所以－＝9.

即＝9.

因为a－b＝1，

所以＝9，a+b＝3.

由解之得

故所求圆C的方程为(x－2)²+(y－1)²＝25.

18．(12分)已知直线l夹在两条直线l₁：3x+y－2＝0和l₂：x+5y+10＝0之间的线段被点D(2，－3)平分，求直线l的方程．

解：设l与l₁交点为A(x₁，y₁)，与l₂交点为B(x₂，y₂)，

∵D(2，－3)是AB中点，

∴＝2，＝－3.

因此

B(x₂，y₂)在l₂上，得x₂+5y₂+10＝0，

即4－x₁+5(－6－y₁)+10＝0.

由此得解之得

∴A(，－)，又直线l过A、D两点，

所以直线方程为＝.

化为一般形式得l的方程为4x－y－11＝0.

17．(12分)求与点P(4,3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．

解：设所求直线方程为y＝kx或+＝1(a≠0)．

对于y＝kx，

5＝，9k²+24k+16＝0，

解之得k＝－.

对于x+y＝a,5＝，

解之得a＝7+5或7－5.

故所求直线方程为

y＝－x或x+y－7－5＝0或x+y－7+5＝0.