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教学环节 |
教学内容 |
师生互动 |
设计意图 |
提出问题 |
示例1：数集的拓展 示例2：方程(x – 2) (x2 – 3) = 0的解集. ①在有理数范围内，②在实数范围内. |
学生思考讨论. |
挖掘旧知，导入新知，激发学习兴趣. |
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形成概念 |
1．全集的定义. 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，称这个集合为全集，记作U. 示例3：A = {全班参加数学兴趣小组的同学}，B = {全班设有参加数学兴趣小组的同学}，U = {全班同学}，问U、A、B三个集关系如何. 2．补集的定义 补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作  UA. 即 UA = {x | x∈U，且 }，Venn图表示   |
师：教学学科中许多时候，许 多问题都是在某一范围内进行研究. 如实例1是在实数集范围内不断扩大数集. 实例2：①在有理数范围内求解；②在实数范围内求解. 类似这些给定的集合就是全集. 师生合作，分析示例 生：①U = A∪B， ②U中元素减去A中元素就构成B. 师：类似②这种运算得到的集合B称为集合A的补集，生师合作交流探究补集的概念. |
合作交流，探究新知，了解全集、补集的含义. |
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应用举例 深化概念 |
例1 设U = {x | x是小于9的正整数}，A = {1，2，3}，B = {3，4，5，6}，求UA，UB. 例2 设全集U = {x | x是三角形}，A = {x|x是锐角三角形}，B = {x | x是钝角三角形}. 求A∩B， U (A∪B). |
学生先尝试求解，老师指导、点评. 例1解：根据题意可知，U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 UA = {4, 5, 6, 7, 8}，UB = {1, 2, 7, 8}.例2解：根据三角形的分类可知 A∩B =  ，A∪B = {x | x是锐角三角形或钝角三角形}， U (A∪B) = {x | x是直角三角形}. |
加深对补集概念的理解，初步学会求集合的补集. |
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性质探究 |
补集的性质： ①A∪( UA) = U，②A∩( UA) =.练习1：已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，A={2, 4, 5}，B = {1, 3, 5, 7}，求A∩( UB)，(UA)∩(UB).总结： ( UA)∩(UB) = U (A∪B)，( UA)∪(UB) = U (A∩B). |
师：提出问题 生：合作交流，探讨 师生：学生说明性质①、②成立的理由，老师点评、阐述. 师：变式练习：求A∪B，求 U (A∪B)并比较与(UA)∩(UB)的结果. 解：因为 UA = {1, 3, 6, 7}，UB = {2, 4, 6}，所以A∩(UB) = {2, 4}，( UA)∩(UB) = {6}. |
能力提升. 探究补集的性质，提高学生的归纳能力. |
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应用举例 |
例2 填空 (1)若S = {2，3，4}，A = {4，3}，则 SA = .(2)若S = {三角形}，B = {锐角三角形}，则 SB = .(3)若S = {1，2，4，8}，A = ，则SA = .(4)若U = {1，3，a2 + 3a + 1}，A = {1，3}， UA = {5}，则a .(5)已知A = {0，2，4}， UA = {–1，1}，UB = {–1，0，2}，求B =. (6)设全集U = {2，3，m2 + 2m – 3}，A = {|m + 1| ，2}， UA = {5}，求m.(7)设全集U = {1，2，3，4}，A = {x | x2 – 5x + m = 0，x∈U}，求 UA、m. |
师生合作分析例题. 例2(1)：主要是比较A及S的区别，从而求 SA .例2(2)：由三角形的分类找B的补集. 例2(3)：运用空集的定义. 例2(4)：利用集合元素的特征. 综合应用并集、补集知识求解. 例2(7)：解答过程中渗透分类讨论思想. 例2(1)解： SA = {2}例2(2)解： SB = {直角三角形或钝角三角形}例2(3)解： SA = S 例2(4)解：a2 + 3a + 1 = 5， a = – 4或1. 例2(5)解：利用韦恩图由A设 UA 先求U = {–1，0，1，2，4}，再求B = {1，4}.例2(6)解：由题m2 + 2m – 3 = 5且|m + 1| = 3， 解之m = – 4或m = 2. 例2(7)解：将x = 1、2、3、4代入x2 – 5x + m = 0中，m = 4或m = 6， 当m = 4时，x2 – 5x + 4 = 0，即A = {1，4}， 又当m = 6时，x2 – 5x + 6 = 0，即A = {2，3}. 故满足条件： UA = {1，4}，m = 4；UB = {2，3}，m = 6. |
进一步深化理解补集的概念. 掌握补集的求法. |
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归纳总结 |
1．全集的概念，补集的概念. 2． UA ={x | x∈U，且}.3．补集的性质： ①( UA)∪A = U，(UA)∩A =，② U= U，UU =，③( UA)∩(UB) = U (A∪B)，( UA)∪(UB) = U (A∩B) |
师生合作交流，共同归纳、总结，逐步完善. |
引导学生自我回顾、反思、归纳、总结，形成知识体系. |
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课后作业 |
1.1 第四课时习案 |
学生独立完成 |
巩固基础、提升能力 |
备选例题
例1 已知A = {0，2，4，6}，SA = {–1，–3，1，3}，SB = {–1，0，2}，用列举法写出集合B.
[解析]∵A = {0，2，4，6}，SA = {–1，–3，1，3}，
∴S = {–3，–1，0，1，2，3，4，6}
而SB = {–1，0，2}，∴B =S (SB) = {–3，1，3，4，6}.
例2 已知全集S = {1，3，x3 +
3x2 + 2x}，A = {1，|2x – 1|}，如果SA = {0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由.
[解析]∵SA = {0}，∴0∈S，但0
A，∴x3 +
3x2 + 2x = 0，x(x + 1) (x + 2) = 0，
即x1 = 0，x2 = –1，x3 = –2.
当x = 0时，|2x – 1| = 1，A中已有元素1，不满足集合的性质；
当x= –1时，|2x – 1| = 3，3∈S； 当x = –2时，|2x – 1| = 5，但5S.
∴实数x的值存在，它只能是–1.
例3 已知集合S = {x | 1＜x≤7}，A = {x | 2≤x＜5}，B = {x | 3≤x＜7}. 求：
(1)(SA)∩(SB)；(2)S (A∪B)；(3)(SA)∪(SB)；(4)S (A∩B).
[解析]如图所示，可得
A∩B = {x | 3≤x＜5}，A∪B = {x | 2≤x＜7}，
SA = {x | 1＜x＜2，或5≤x≤7}，SB = {x | 1＜x＜3}∪{7}.
由此可得：(1)(SA)∩(SB) = {x | 1＜x＜2}∪{7}；
(2)S (A∪B) = {x | 1＜x＜2}∪{7}；
(3)(SA)∪(SB) = {x | 1＜x＜3}∪{x |5≤x≤7} = {x | 1＜x＜3，或5≤x≤7}；
(4)S (A∩B) = {x | 1＜x＜3}∪{x | 5≤x≤7} = {x | 1＜x＜3，或5≤x≤7}.
例4 若集合S = {小于10的正整数}，
，
，且(SA)∩B = {1，9}，A∩B = {2}，(SA)∩(SB) = {4，6，8}，求A和B.
[解析]由(SA)∩B = {1，9}可知1，9A，但1，9∈B，
由A∩B = {2}知，2∈A，2∈B.
由(SA)∩(SB) = {4，6，8}知4，6，8A，且4，6，8B
下列考虑3，5，7是否在A，B中：
若3∈B，则因3A∩B，得3A.
于是3∈SA，所以3∈(SA)∩B，
这与(SA)∩B = {1，9}相矛盾.
故3B，即3∈(SB)，又∵3(SA)∩(SB)，
∴3(SA)，从而3∈A；同理可得：5∈A，5B；7∈A，7B.
故A = {2，3，5，7}，B = {1，2，9}.
评注：此题Venn图求解更易.