3．对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解.
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4．对于有多个约束条件的问题，先应该深入分析每个约束条件，再综合考虑如何分类或分步，但对于综合性较强的问题则需要交叉使用两个原理来解决问题.
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例1. 五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
(1)甲必须在排头；
(2)甲必须在排头，并且乙在排尾；
(3)甲、乙必须在两端；
(4)甲不在排头，并且乙不在排尾；
(5)甲、乙不在两端；
(6)甲在乙前；
(7)甲在乙前，并且乙在丙前；
(8)甲、乙相邻；
(9)甲、乙相邻，但是与丙不相邻；
(10)甲、乙、丙不全相邻
解析：(1)特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”有
种，再排其它4个位置有
种，所以共有：×=24种
(2)甲必须在排头，并且乙在排尾的排法种数：××
=6种
(3)首先排两端有
种，再排中间有
种，
所以甲、乙必须在两端排法种数为：×=12种
(4)甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：
－2+=78种
(5)因为两端位置符合条件的排法有种，中间位置符合条件的排法有种，
所以甲、乙不在两端排法种数为×=36种
(6)因为甲、乙共有2！种顺序，所以甲在乙前排法种数为：÷2！=60种
(7)因为甲、乙、丙共有3！种顺序，
所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：÷3！=20种
(8)把甲、乙看成一个人来排有种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为×=48种
(9)首先排甲、乙、丙外的两个有，从而产生3个空，把甲、乙看成一个人与丙插入这3个空中的两个有，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排法种数为××=24种
(10)因为甲、乙、丙相邻有×，
所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为－×=84种
变式训练1：某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有 ( )
A．45种 B．36种
C．28种 D．25种
解：C. 8步走10级，则其中有两步走两级，有6步走一级．一步走两级记为a，一步走一级记为b，所求转化为2个a和6个b排成一排，有多少种排法．故上楼的方法有C
＝28种；或用插排法．
例2. (1) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？
(2) 5名乒乓选手的球队中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有多少种？
解：(1)分类：第一为甲丙都去，第二类不去共有
种
(2)分类：第一类两名老队员都去，第二类去一名老队员共有
种
变式训练2：某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单，开演前又增加了三个新节目，如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是 ( )
A．504 B．210
C．336 D．120
解：A
＝504 故选A
例3. 已知直线ax+by+c=0中的系数a，b，c是从集合{-3，-2，-1，0，1，2，3}中取出的三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？
解：首先把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“a，b，c”的情况讨论。
设直线的倾斜角为
，并且为锐角。
则tan=－
＞0,不妨设a＞b,那么b＜0
当c≠0时,则a有3种取法,b有3种取法,c有4种取法,并且其中任意两条直线不重合,所以这样的直线有3×3×4=36条
当c=0时, a有3种取法,b有3种取法, 其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以这样的直线有3×3-2=7条
故符合条件的直线有7+36=43条
变式训练3：将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有______种.
解：
例4. 从集合{1，2，3，……20}中任选3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？
解：a，b，c
a，b，c成等差数列
要么同为奇数，要么同为偶数，故满足题设的等差数列共有A
+A＝180(个)
变式训练4：某赛季足球比赛中的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球 队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜负平的情况共有多少种？
解：设该队胜负平的情况是：胜x场，负y场，则平15－(x+y)场，依题意有：
x≥9 。故有3种情况，即胜、负、平的场数是：9，0，6；10，2，3；11，4，0．
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