＝
．[例1]求过点(0，2)的直线被椭圆x2+2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程．
解：设直线方程为y=kx+2，
把它代入x2+2y2＝2，
整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0．
要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k＜－
或k＞．
设直线与椭圆两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，中点坐标为C(x，y)，则
x＝
＝
，
y= +2＝
．
|
|
x=，
y=
消去k得x2+2(y－1)2＝2，
且｜x｜＜，0＜y＜
．
[例2](2005江西文)
如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．
(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
(2)若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．
解：(1)设M(y
,y0)，直线ME的斜率为k(l>0)
则直线MF的斜率为－k，
消
所以直线EF的斜率为定值
(2)
同理可得
设重心G(x, y)，则有
[例3](2006浙江)如图，椭圆
＝1(a＞b＞0)与过点A(2，0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
．
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)设F
、F
分别为椭圆的左、右焦点，M为线段
的中点，求证：∠ATM=∠AFT．
解：(I)过点
、
的直线方程为
因为由题意得 
有惟一解，
即
有惟一解，
所以
(
)，
故 
又因为 
即 
所以 
从而得 
故所求的椭圆方程为 
(II)由(I)得 
故
从而
由
解得
所以 
因为
又
得
因此
[例4]已知椭圆C：
+
＝1(a＞b＞0)，两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B．
(1)若｜k｜≤
，求椭圆C的离心率的取值范围；
(2)若k=，A、B到右准线距离之和为
，求椭圆C的方程．
解：(1)设右焦点F2(c，0)，则l：y=k(x－c)．
令x=0，则y=－ck，∴P(0，－ck)．
∵B为F2P的中点，∴B(
，－
)．
∵B在椭圆上，∴
+
＝1．
∴k2＝
·
＝(
－1)(4－e2)
＝
+e2－5．
∵｜k｜≤，∴+e2－5≤
．
∴(5e2－4)(e2－5)≤0．
∴≤e2＜1．∴≤e＜1．
(2)k＝，∴e＝．∴
＝．
∴a2＝
c2，b2＝
c2．椭圆方程为
+
＝1，即x2+5y2＝c2．
直线l方程为y=(x－c)，
B(，－
c)，右准线为x=c．
设A(x0，y0)，则
(c－x0)+(c－)＝，
∴x0＝2c－，y0＝(c－)．
∵A在椭圆上，
∴(2c－)2+5［(c－)］2＝c2．
解之得c=2或c＝
(不合题意，舍去)．
∴椭圆方程为x2+5y2＝5，即
+y2＝1．
[研讨．欣赏](2006山东)双曲线C与椭圆
有相同的焦点，直线
为C的一条渐近线。
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点
的直线
，交双曲线C于A、B两点，交
轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)，当
，且
时，求
点的坐标。
解：(Ⅰ)设双曲线方程为
由椭圆
求得两焦点为
，
对于双曲线
，又
为双曲线
的一条渐近线
解得 
，
双曲线的方程为
(Ⅱ)解法一：
由题意知直线的斜率
存在且不等于零。
设的方程：
，
则
在双曲线上，
同理有：
若
则直线过顶点，不合题意．
是二次方程
的两根．
，
此时
．
所求的坐标为
．
解法二：
由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程，
，则．
，
分
的比为
．
由定比分点坐标公式得
下同解法一
解法三：
由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程：，则．
，
．
，
，
，
又
，
即
将
代入得
，否则与渐近线平行。
。
解法四：
由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，
则
,
。
同理 
．
即 
。 (*)
又 
消去y得
．
当
时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，
。
由韦达定理有：
代入(*)式得 
所求Q点的坐标为。
·
=
=
的图象，如图所示：
；
＝|
＝
+
没有公共点，则
，过点
的直线与抛物线相交于
两点，则
的最小值是
。
的右焦点为F，若过点F且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
(B)
(C)
(D)