6. ⑴当时，函数，．

，

曲线在点处的切线的斜率为．

从而曲线在点处的切线方程为，

即．

⑵．

令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．

由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，

只需，即时，

∴在内为增函数，正实数的取值范围是．

⑶∵在上是减函数，

∴时，；时，，即，

①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数．

当时，，因为，所以，，

此时，在内是减函数．

故当时，在上单调递减，不合题意；

②当时，由，

所以．

又由⑵知当时，在上是增函数，

∴，不合题意；

③当时，由⑵知在上是增函数，，

又在上是减函数，

故只需，，

而，，

即，解得，

所以实数的取值范围是．

5. 解：(I) 　.注意到，即，

得或．所以当变化时，的变化情况如下表：

所以是的一个极大值, 是的一个极大值..

设为的图象上一点,关于的对称点是Q，

因，又

所以

_，

即点也在函数y=f(x)的图像上。

设为的图象上一点,关于的对称点是……

　(III) 假设存在实数、.,或.

若, 当时, ,而.故不可能…

若,当时, ,而.故不可能….

若,由的单调递增区间是,知是的两个解.而无解. 故此时的取值范围是不可能是.

综上所述,假设错误,满足条件的实数、不存在.

4. 解：(I)，　　　　　　　　　 …………(2分)

				2
	+	0	-	0	+
		极大		极小

，得，或，列表：

函数在处取得极大值，　　　 …………(4分)

函数在处取得极小值；　　　　 …………(6分)

(II)方法1：，时，，

(i)当，即时，

时，，函数在是增函数

，恒成立；　　　　　　　　　　 …………(8分)

(ii)当，即时，

时，，函数在是减函数

，恒成立，不合题意　　　　　　　 …………(10分)

(iii)当，即时，

时，先取负，再取，最后取正，函数在先递减，再递增，

而，∴，不能恒成立；

综上，的取值范围是.　　　　　　　　　　　　　　　 …………(12分)

方法2：∵，∴

(i)当时，，而不恒为0，

∴函数是单调递增函数，，恒成立；……(8分)

(ii)当时，令，

设两根是，

∵，，∴

当时，，是减函数，

∴，而，∴　　 …………(10分)

若，∵，，∴，不可能，

若，函数在是减函数，，也不可能，

综上，的取值范围是.　　　　　　　　　　　　　　　　 …………(12分)

方法3：

(i)当，即时，函数在上为增函数，

，恒成立；

(ii)当，即，或时，

①若，∵，∴

在增函数，，恒成立；…………(8分)

②若，由，得

设，列表：

	+	0	-	0	+
		极大		极小

∵任意的，恒成立，而，

∴，或，　　　　　　　　　　　　　　　 …………(10分)

与矛盾，

，也与矛盾，

以上两式都与矛盾，对任意的，不能恒成立，

综上，的取值范围是.　　　　　　　　　　　　　　　 …………(12分)

3. ⑴当时，，得

令，即，解得，所以函数在上为增函数，

据此，函数在上为增函数，而，，

所以函数在上的值域为．

⑵由，令，得，即，

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增；

若，即，易得函数在上为增函数，

此时，，要使对恒成立，只需即可，

所以有，即．

而，

即，所以此时无解．

若，即，

易知函数在上为减函数，在上为增函数，

要使对恒成立，只需，即，

由和

得．

若，即，易得函数在上为减函数，

此时，，要使对恒成立，只需即可，

所以有，即，又因为，所以．

综合上述，实数的取值范围是．

2.解析：

⑴∵函数在区间内单调递减，

∵，∴．

⑵∵函数在处有极值是，∴．

即．

∴，所以或．

当时，在上单调递增，在上单调递减，所以为极大值，

这与函数在处取得极小值是矛盾，

所以．

当时，在上单调递减，在上单调递增，所以为极小值，

所以时，此时，在区间内函数的单调性是：

在内减，在内增．

1. 解析：(I)当时，

因为有三个互不相同的零点，所以，

即有三个互不相同的实数根。

令，则。

因为在和均为减函数，在为增函数，

的取值范围

(II)由题可知，方程在上没有实数根，

因为，所以

(III)∵，且，

∴函数的递减区间为，递增区间为和；

当时，又，

∴而

∴，

又∵在上恒成立，

∴，即，即在恒成立。

∵的最小值为

∴

14.(2010辽宁省预测卷)

已知函数()．

　 (1)当时，求函数在上的最大值和最小值；

　 (2)当函数在单调时，求的取值范围；

　 (3)求函数既有极大值又有极小值的充要条件。

2010年新课标省市高三数学模拟题分类

　 第一节　 函数与导数详解答案

13.(2010陕西省第五次适应性考试)

已知函数．

(1)若在时，有极值，求、的值．

(2)当为非零实数时，是否存在与直线平行的切线，如果存在，求出切线的方程，如果不存在，说明理由．

(3)设函数的导函数为，记函数的最大值为M，求证．

12.(2010东北三校一模)

已知函数

　 (1)若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；

　 (2)若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

　 (3)设各项为正的数列满足：求证：

11.(2010杭州学军中学模拟)

设，．

　 (1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；

(3)如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．