72、(吉林省吉林市2008届上期末)抛物线C的方程为，作斜率为的两条直线，分别交抛物线C于A两点(P、A、B三点互不相同)，且满足

　 (1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

　 (2)设直线AB上一点M满足证明：线段PM的中点在y轴上；

　 (3)当时，若点P的坐标为(1，-1)，求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取

值范围.

解：(1)由抛物线C的方程得，

焦点坐标为 ……………………………………2分

　 (2)设直线PA的方程为

将②式代入①式，得，

于是　　 ③…………………………………………4分

将⑤式代入④式，得，

于是 …………………………………………4分

由已知得，　　 ⑥

设点M的坐标为

将③式和⑥式代入上式，得

所以线段PM的中点在y轴上 ……………………………………………………8分

　 (3)因为点P(1，－1)在抛物线

由③式知

将代入⑥式得

因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为

故当

即………………………………………………………12分

71、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。过点F的直线交椭圆于A、B两点．

　 (1)若直线的倾斜角，求；

　 (2)求弦AB的中点M的轨迹；

　 (3)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，

线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

解：(1)直线方程为与联立得

　　　　　　　　 …………………4分

(2)设弦AB的中点M的坐标为依题意有

　所以弦AB的中点M的轨迹是以为中心，焦点在轴上，长轴长为1，短轴长为的椭圆。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………8分

(3)设直线AB的方程为

　　 代入整理得

　　 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。

　　 记中点　 则

　　 的垂直平分线NG的方程为 令得

　　 点G横坐标的取值范围为　　　　 　　　　　　　…………………13分

70、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)已知直线l: y＝2x－与椭圆C:+y²＝ 1 (a＞1)交于P、Q两点, 以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A.

(1) 设PQ中点M(x₀,y₀), 求证: x₀＜

(2)求椭圆C的方程.

解: (1)设直线l: y＝2x－与椭圆C: +y²＝ 1 (a＞1)交于P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂), 右顶点A(a,0), 将y＝2x－代入x²+a²y²－a²＝0中整理得(4a²+1)x²－4a²x+2a²＝0

∵M(x₀,y₀)为PQ中点 ∴x₀＝ ＝ 　＝ － 故x₀＜

(2)依题意: ·＝0, 则(x₁－a)(x₂－a)+y₁y₂＝0 又y₁＝2x₁－, y₂＝2x₂－

故 (x₁－a)(x₂－a)+(2x₁－)(2x₂－)＝0 由①②代入③ 得: 4a⁴－4a³－a²+3＝0

∴(a－)(4a²－a－)＝0 ∵a＞1, 则4a²－a－＞0　 故a＝

故所椭圆方程为 + y²＝1

69、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)在平面直角坐标系中，已知，若实数使得(为坐标原点)

(I)求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；

(Ⅱ)当时，若过点的直线(斜率不等于零)与(I)中点的轨迹交于不同的两点E、F(E在B、F之间)，试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

解：(I)由已知可得．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

即P点的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　 7分．

当 P点的轨迹是两个点．　　　　 9分

，即时，方程为 P点的轨迹是双曲线．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分

，即时，方程为, P点的轨迹是两条射线．　　　　 13分

68、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)已知圆M：(x+)²+y²=36及定点N(，0)，点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.

(1)求点G的轨迹C的方程.

(2)过点K(2，0)作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

解：(1)为PN的中点，且GQ是PN的中垂线.

∴

又

∴点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，

∴的轨迹方程是……………………………………(5分)

(2)四边形OASB为平行四边形，假设存在直线，使；则四边形OASB为矩形.

若直线的斜率不存在，则的方程为.

，这与=0矛盾，故的斜率存在.………………………(7分)

设直线的方程为、.

　　 ………………………(9分)

又………………………(12分)

∴存在直线满足条件. ……………………(13分)

67、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为；折痕与AB交于点E，点M满足关系式。若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系(如下图)：

　　 (Ⅰ)．求点M的轨迹方程；

　　 (Ⅱ)．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形的三边分别与曲线S切于点.求梯形面积的最小值.

解：(1)如图，设M(x,y)，，又E(0，b)

显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b,,则

而的中点在直线l上，

故，①

由于代入①即得，又

点M的轨迹方程()-------------6分

(2)易知曲线S的方程为

设梯形的面积为，点P的坐标为.

　 　　　由题意得，点的坐标为，直线的方程为.

　　 　 直线的方程为

即：

　　　　 令　 得，

令　 得，

当且仅当，即时，取“=”且，

　 时，有最小值为.

梯形的面积的最小值为----------13分

66、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知抛物线x²＝4y上的点P(非原点)处切线与x、y轴分别交于Q、R点，F为抛物线的焦点。

(Ⅰ)

(Ⅱ)若抛物线上的点面积的最小值，并写出此时过P点的切线方程。

解：(Ⅰ)设

令

。

(Ⅱ)知　

=

显然只需考查函数

　　 时，也取得最小值 。

　　 故此时过P点的切线PR的方程为：

65、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)已知圆A：，圆B：，动圆P与圆A、圆B均外切，直线的方程为x＝a(a≤).

(Ⅰ) 求动圆P的圆心的轨迹C的方程；

(Ⅱ)过点B的直线与曲线C交于M、N两点，(1)求｜MN｜的最小值；(2)若MN的中点R在上的射影Q满足MQ⊥NQ，求的取值范围.

解：(Ⅰ)设动圆P的半径为，则│PA│＝，│PB│=,

∴│PA│－│PB│=2.　　　　　　　　　　

　故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，

其方程为(≥1).　　　　　 ………………………………………3分

(Ⅱ)(1)设MN的方程为，代入双曲线方程，得

.

由，解得.　 ………………………………………5分

设,则

.

当时,.　　　　　　　 ………………………………………7分

(2)由(1)知 ，.

由,知.

所以，从而.

由,得.　　　　　 ………………………………………13分

另解：

　(1)若MN的斜率存在，设斜率为，则直线MN的方程为，代入双曲线方程,得.

由　 解得.　　　 …………………………………5分

设,则

＝││＝6+.

当直线斜率不存在时，＝2，得＝3，＝－3.此时＝6.

所以＝6.　　　　　　　　　 ……………………………………………7分

(2)当MQ⊥NQ时，│RQ│＝＝.①　

又＝＝2，即＝2 ，

所以│MN│＝， 故.　 ②　

将②代入①，得│MN│＝2－.

由│MN│＝2－,得≤－1.　　　　 ………………………………………13分

64、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)已知方向向量为的直线过点和椭圆的焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足：。

⑴求椭圆的方程；

⑵设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为,设，求的值。

63、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)如图，已知为平面上的两个定点，为动点，，且，(是和的交点)

⑴建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；

⑵若点的轨迹上存在两个不同的点，且线段的中垂线与(或的延长线)相交于一点，证明：(为的中点)

解：⑴如图1，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系

由题设

，而

点是以为焦点、长轴长为的椭圆，故点的轨迹方程为　　　　　 (6分)

⑵如图2，设，，且，

即，又在轨迹上，

即

代入整理得：

，　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分)

≤≤，≤≤，≤≤

，

，即。