例1．已知斜三棱柱中，

　，点是与的交点，

(1)基向量表示向量；(2)求异面直线与所成的角；

(3)判定平面与平面

解：设

(1)

(2)由题意，可求得，，

，，，

∴异面直线与所成的角为

(3)取的中点，连结，则

∵，∴，且，∴

∴，平面，∴平面与平面

例2．如图在四棱锥中，底面是，且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面。

(1)若为边的中点，求证：平面；

(2)求二面角的大小；

(3)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面，并证明你的结论。

(1)∵为正三角形，为边的中点，∴，

∵平面垂直于底面，∴底面，∴

在菱形中，，　

∴，

∴为直角三角形，

且，，∴平面

(2)由(1)知底面，，

∴，

∴是二面角的平面角，

∵，∴，∴

(3)∵为边的中点，∴，∴，取的中点，连结，

则，∵，∴平面，∴平面平面，∴点存在，且为的中点。

例3．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，侧棱长为

(1)与能否垂直？请证明你的判断；(2)当在上变化时，求异面直线与所成角的取值范围。

解：∵菱形中，于，设，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则

(1)∵，

∴

∴与不能垂直。

(2)∵，∴，

∵∴，

，

∵，∴设，又，

∴

∵，∴

∴直线与所成角的取值范围是。

4．直角三角形的斜边在平面内，与平面分别成的角，若，则在平面内的射影构成的三角形的面积为 5

3．长方体的一个顶点上三条棱长分别为，该长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为　　 　　　　　　　　

2．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B　 C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为(　 　)

90°　　 60°　　 45°　　 30°

1．已知两条异面直线所成的角为，直线与，直线与所成的角为，则的范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　)

(四)巩固练习：设数列的前项和为，则等于(　　 )

(三)例题分析：

例1．求下列数列的前项和：

(1)5，55，555，5555，…，，…； (2)；

(3)；　　　　　　 (4)；

(5)；(6)．

解：(1)

．

(2)∵，

∴．

(3)∵

∴

．

(4)，

　 当时，…，

　 当时，… ，　

…，

　 两式相减得 …，

∴．

(5)∵，

　∴ 原式……．

(6)设，

　 又∵，

　∴ ，．

例2．已知数列的通项，求其前项和．

解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，

偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；

当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，

∴，

当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，

∴，

所以，．

例3．(《高考A计划》智能训练14题)数列的前项和，数列满足，若是等比数列，

(1)　　 求的值及通项；

(2)求和…．

(解答见教师用书127页)

(二)主要方法：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；

2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；

3．转化思想的运用；

(一)主要知识：

1．等差数列与等比数列的求和公式的应用；

2．倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法；

3．熟记一些常用的数列的和的公式．