6.(2010年厦门湖里模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x2-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2.

(1)求A、B、C三点的坐标;

(2)求此抛物线的表达式;

(3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;

(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.

答案:解:(1)解方程x2-10x+16=0得x1=2,x2=8 

∵点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,且OB<OC

∴点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8)

又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为(-6,0) 

(2)∵点C(0,8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上

∴c=8,将A(-6,0)、B(2,0)代入表达式,得

 解得   

∴所求抛物线的表达式为y=-x2-x+8 

(3)依题意,AE=m,则BE=8-m,

∵OA=6,OC=8,∴AC=10

∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC

∴= 即=

∴EF=

过点F作FG⊥AB,垂足为G,则sin∠FEG=sin∠CAB=

∴= ∴FG=·=8-m

∴S=S△BCE-S△BFE=(8-m)×8-(8-m)(8-m)

=(8-m)(8-8+m)=(8-m)m=-m2+4m

自变量m的取值范围是0<m<8 

(4)存在.

理由:∵S=-m2+4m=-(m-4)2+8 且-<0,

∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8 

∵m=4,∴点E的坐标为(-2,0)

∴△BCE为等腰三角形. 

 0  350324  350332  350338  350342  350348  350350  350354  350360  350362  350368  350374  350378  350380  350384  350390  350392  350398  350402  350404  350408  350410  350414  350416  350418  350419  350420  350422  350423  350424  350426  350428  350432  350434  350438  350440  350444  350450  350452  350458  350462  350464  350468  350474  350480  350482  350488  350492  350494  350500  350504  350510  350518  447090 

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