且
，设函数
处取得极值，记点
，证明：线段
与曲线
、
的公共点．
，则曲线
在点
处的切线方程是
． 
，则f(2009)的值为
．
B． 
D．
定义在R上的偶函数
的部分图象如右图所示，则在
上，下列函数中与
B．
D．
的图象( )
对称
轴对称
D．关于直线
对称4．导数与单调性、极(最)值问题．
导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．
例4．已知函数
，其中
．
(1)当
满足什么条件时，
取得极值?
(2)已知
，且在区间
上单调递增，试用
表示出
的取值范围．
解析： (1)由已知得
，令
，得
，
要取得极值，方程必须有解，
所以△
，即
， 此时方程的根为：
，
，
所以
w．w．w．k．s．5．u．c．o．m
当时，
|
x |
(-∞，x1) |
x 1 |
(x1，x2) |
x2 |
(x2，+∞) |
|
f’(x) |
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
f (x) |
增函数 |
极大值 |
减函数 |
极小值 |
增函数 |
所以在x 1， x2处分别取得极大值和极小值．
当
时，
|
x |
(-∞，x2) |
x 2 |
(x2，x1) |
x1 |
(x1，+∞) |
|
F’(x) |
－ |
0 |
+ |
0 |
－ |
|
f (x) |
减函数 |
极小值 |
增函数 |
极大值 |
减函数 |
所以在x 1， x2处分别取得极大值和极小值．
综上，当满足时，取得极值．
(2)要使在区间上单调递增，需使
在上恒成立．
即
恒成立，所以
，
设
，
，
令
得
或
(舍去)，
当
时，
，当
时
，单调增函数；
当
时
，单调减函数，
所以当时，
取得最大，最大值为
．
所以
．
当
时，
，此时
在区间恒成立，
所以在区间上单调递增，
当
时最大，最大值为
，所以
．
综上，当时，
；当时，
．
点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．
[思想方法]
[例1]若
是方程
的解，
是
的解，则
的值为( )
A． 
B．
C．
D．
[解析]作出
的图象，
交点横坐标为，而
．
[答案]C
[点评]该题考查了指数函数、对数函数的图象及性质．综合了函数的图象、方程的解及曲线的交点等问题．指数函数、对数函数是两类重要的基本初等函数， 高考中以它们为载体的函数综合题既考查双基， 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用．
[例2]若函数f(x)=a
-x-a(a>0且a
1)有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
[解析]设函数
且
和函数
，则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，
就是函数且与函数有两个交点，由图象可知当
时两函数只有一个交点，不符合，当时，因为函数
的图象过点(0，1)，而直线所过的点一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是．
[答案]
[点评]本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系，隐含着对指数函数的性质的考查，根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答．体现了对分类讨论思想的考查，分类讨论时，要注意该分类时才分类，讨论务必要全面．
[例3]已知偶函数在区间
单调增加，则满足
＜
的x 取值范围是( )
(A)(
，) (B) ［，) (C)(
，) (D) ［，)
[解析]由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(|x|)，
∴得f(|2x－1|)＜f()，再根据f(x)的单调性，得|2x－1|＜，解得＜x＜．
[答案]B
[点评]该题的关键是将含有函数符号的不等式转化为普通的不等式，体现的对转化思想的考查，同时还综合考查了函数的性质，而该题的转化的依据就是函数的奇偶性和单调性．考题中通过这种形式来考查函数的性质与方程、不等式等的综合不但是一个热点，而且成了一个固定的必考题型．
[专题演练]
10)层，则每平方米的
平均建筑费用为560+48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
)
．
，令
，即
，解得
．
时，
；当
时，
，
元．
成立．
时，
．
时，
．
时，
．
时，
为所求．
的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．1．函数的性质与图象
函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．
例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是( )
|
答案：B
解析：在选项B中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．
点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．
例2．已知定义在R上的奇函数，满足
，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间
上有四个不同的根
，则
答案：-8
解析：因为定义在R上的奇函数，满足，所以
，所以, 由为奇函数，所以函数图象关于直线
对称且
，由知
，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0,2]上是增函数，所以在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，不妨设
，由对称性知
，
．所以
．
点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．